Дивергенция

Пусть - замкнутая поверхность, ограничивающая объем и - внешняя единичная нормаль к . Для наглядности изложения вновь предположим, что рассматривается поток несжимаемой жидкости . Знак зависит, очевидно, от величины угла между и : он положительный, если угол острый, и отрицательный, если он тупой.

Говорят, что жидкость вытекает из объема в точке поверхности , если в этой точке , и втекает в объем , если .

При таком подходе в формуле есть разность между количествами вытекающей и втекающей жидкости за единицу времени через поверхность . В силу предположения несжимаемости жидкости ее количество постоянно внутри объема .

Пусть , тогда из вытекает больше жидкости, чем втекает. Это означает, что внутри существуют источники, питающие поток. При внутри существуют стоки, поглощающие жидкость. Понятно, что если в объеме нет ни источников, ни стоков, то .

Скалярная величина в формуле характеризует мощность потока векторного поля (источника, если , и стока, если ) суммарно.

Займемся характеристикой мощности потока в точке . С этой целью окружим малым объемом , целиком лежащим в , и рассмотрим величину

,

где для простоты через обозначена величина объема , ограниченного замкнутой поверхностью . Величина характеризует среднюю мощность потока в единице объема, содержащего точку .

Если существует предел , когда стягивается в точку , то его называют дивергенцией (расходимостью) векторного поля в точке и обозначают

.

Из вышеизложенного следует, что в точке имеется источник (сток), если ( ).

На практике для вычисления обычно применяют формулу

,

имеющую место в предположении гладкости поля в точке .

Понятия потока и дивергенции связывает следующее утверждение.

Пусть - гладкое векторное поле в области .

Теорема (Гаусса-Остроградского). Поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен тройному интегралу по объему , ограниченному поверхностью , от дивергенции этого векторного поля, т.е.

,

или в развернутом виде

.

Равенство называют формулой Гаусса-Остроградского.

Ротор

В заключение приведем еще одну характеристику векторного поля, называемую ротором поля. При этом для простоты изложения ограничимся приведением лишь формулы для вычисления ротора, не останавливаясь на деталях формального определения с помощью предельного перехода.

Пусть дано гладкое векторное поле , определенное в некоторой области .

Ротором (или вихрем) векторного поля , обозначаемым , называют вектор, вычисляемый по формуле:

.

4.Контрольная работа №5

Задание:

1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции .

2. Найти частные производные явно заданной функции.

3. Найти полный дифференциал функции.

4. Найти частные производные II порядка.

5. Найти .

6. Найти производную неявной функции по переменной .

7. Исследовать функцию на экстремум.

Варианты заданий представлены в таблице 1.

Таблица 1

	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.