3.1.3.Дифференциальные характеристики скалярного поля Производная по направлению скалярного поля
Пусть в области
задано гладкое скалярное поле
.
Напомним, что частная производная
вычисляется
по формуле
.
При этом
предел может вычисляться только при
или только при
;
оба предела совпадают.
Перепишем формулу в виде
,
где
,
;
- длина отрезка, соединяющего
и
,
взятая со знаком плюс, если
и со знаком минус, если
.
Очевидно, вектор
коллинеарен вектору
.
Другими словами, частную производную
можно трактовать как производную по
направлению вектора
.
Аналогичную
трактовку можно дать частным производным
и
.
Ничто не
мешает рассмотреть предел при условии,
что
по направлению произвольного ненулевого
вектора
.
А именно, пусть задан единичный вектор
,
где
,
и
- углы, образованные вектором
с векторами
,
и
соответственно. Через точку
проведем прямую, параллельную вектору
,
и выберем на этой прямой точку
.
Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид
,
или в параметрическом виде
,
,
.
Равенство
определяет производную (скорость изменения) скалярного поля и в точке по направлению вектора , если, конечно, указанный предел существует.
Из этого определения следует, что частные производные , и совпадают с производными, соответственно, по направлениям векторов , и .
Оказывается, если существуют частные производные , и , то в данной точке существуют и производные по направлению любого вектора .
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то
.
(Без доказательства)
Отметим, что производная по направлению векторного поля, естественно, может быть определена и в ; соответствующие формулы получаются простой модификацией вышеприведенных формул.
Градиент
Пусть
- гладкое скалярное поле, заданное в
области
и
.
Вектор
называют градиентом скалярного поля
в точке
.
Сразу же
отметим, что градиент позволяет просто
записать производную векторного поля
по направлению вектора
.
А именно, из следует, что
,
т.е. производная по направлению вектора
в точке
есть скалярное произведение градиента
(в точке
)
на вектор
направления
в этой точке.
Свойства градиента
- по направлению градиента функция возрастает быстрее всего;
- градиент скалярного поля направлен по нормали к поверхности уровня;
Естественным образом определяется понятие градиента на плоскости ( ).
3.1.4.Дифференциальные характеристики векторного поля
Пусть векторное поле описывает стационарное поле скоростей потока несжимаемой жидкости, протекающей через область . Требуется определить количество жидкости, протекающее за единицу времени через гладкую двустороннюю поверхность , находящуюся в заданном потоке.
Выберем
сторону поверхности
(т.е. укажем на ней определенное направление
нормали). Разобьем поверхность
на элементарные площадки
,
,
при этом, как обычно, через
обозначим мелкость этого разбиения.
Каждую площадку
будем считать плоской, а значение вектора
в каждой ее точке одним и тем же. Тогда
количество жидкости
,
протекающее
через площадку
в направлении нормали
,
вычисляется по формуле
,
где
- угол между
и единичной нормалью
к
,
а через
обозначена площадь элементарной площадки
.
Запишем в
обозначениях скалярного произведения
,
которое вычисляется в некоторой
точке
.
Просуммируем обе части этого равенства:
и перейдем к
пределу, когда
.
В левой части этого равенства получим
общее количество жидкости
,
протекающее за единицу времени через
поверхность
,
а в правой части получим поверхностный
интеграл второго рода. Таким образом,
.
Определение.
Независимо от физического смысла поля
интеграл
называют потоком векторного поля через поверхность в направлении нормали .
Если - замкнутая поверхность, то поток поля обозначают
.