Введение

Данное методическое пособие ставит своей целью помочь студенту самостоятельно овладеть теоретическим материалом и применить его на практике при решении задач.

Это определило структуру содержания различных теоретических разделов, примеров, контрольных работ.

Методическое пособие содержит разделы:

1. дифференциальное исчисление функций многих переменных;

2. кратные интегралы;

3. векторный анализ.

В каждом разделе кратко изложены основные понятия, определения, геометрические приложения к различным задачам, приведены примеры.

С целью закрепления изложенного материала и контроля знаний студентов составлены контрольные работы №5 и №6 (по 30 вариантов).

В пособии приведены решения типовых задач и рисунки, позволяющие глубже разобраться в теоретическом материале.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 6

1.1. Определение функции многих переменных 6

1.2. Предел и непрерывность функции многих переменных 7

1.3. Частные производные функции многих переменных 8

1.3.1. Определение частной производной и её геометрический смысл 8

1.3.2. Частные производные высших порядков 9

1.4. Полный дифференциал функции многих переменных 10

1.4.1. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости 10

1.4.2. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях 11

1.4.3. Дифференциалы высших порядков 11

1.5. Дифференцирование сложной функции 12

1.6. Дифференцирование неявно заданной функции 13

1.7. Геометрические приложения частных производных 14

1.7.1. Уравнение касательной и нормальной плоскости к пространственной кривой 14

1.7.2. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 14

1.8. Экстремум функции многих переменных 15

1.8.1. Необходимое и достаточное условия экстремума 15

1.8.2. Достаточные признаки наличия экстремума для функций двух и трех переменных 16

1.8.3. Условный экстремум функции многих переменных 18

2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 20

2.1. Двойной интеграл 20

2.1.1. Определение двойного интеграла 20

2.1.2. Геометрический смысл двойного интеграла 20

2.1.3. Свойства двойных интегралов 21

2.1.4. Вычисление двойного интеграла 23

2.1.5. Замена переменных в двойном интеграле 25

2.1.6. Приложения двойного интеграла 29

2.2. Тройной интеграл 30

2.2.1. Определение тройного интеграла 30

2.2.2. Вычисление тройных интегралов 31

2.2.3. Переход к криволинейным координатам 32

2.2.4. Приложения тройного интеграла 34

3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 35

3.1. Скалярные и векторные поля 35

3.1.1. Основные понятия 35

3.1.2. Геометрические характеристики полей 35

3.1.3. Дифференциальные характеристики скалярного поля 36

3.1.4. Дифференциальные характеристики векторного поля 38

4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5 42

4.1. Пример выполнения задания: 47

5. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6 52

5.1. Пример выполнения задания: 58

1.Дифференциальное исчисление функций многих переменных

1.1.Определение функции многих переменных

Упорядоченную совокупность n действительных чисел называют точкой и обозначают , а сами числа называют координатами точки . Множество всех таких точек называется арифметическим -мерным пространством .

Арифметическое -мерное пространство называется -мерным евклидовым пространством, если для любых двух точек и принадлежащих , расстояние между ними определяется по формуле: ^.

Пусть – некоторая фиксированная точка пространства .

Множество точек , координаты которых удовлетворяют условию: – называется замкнутым -мерным шаром радиуса R с центром в точке .

Множество точек таких, что называется -окрестностью точки (обозначают ). Например, в трехмерном евклидовом пространстве это открытый шар радиуса .

Множество точек , координаты которых заданы как непрерывные функции , определенные на отрезке называется непрерывной кривой в пространстве . Аргумент называется параметром кривой.

Определение. Если каждой точке множества поставлено в соответствие действительное число , то говорят, что на множестве задана числовая функция - переменных , т.е. . Множество называется областью определения функции .

В случае n=2, функцию двух переменных чаще обозначают и рассматривают как функцию координат точек плоскости xOy. Графиком этой функции является множество точек , которое задает некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Например, - функция двух переменных, ее график - эллиптический параболоид ( Рис 1.1.).

В случае функции трех переменных, обозначаемой , график функции построить невозможно, но о характере поведения можно судить, построив, так называемое, семейство поверхностей уровня, уравнения которых есть . Каждая из таких поверхностей есть множество точек, в которых функция имеет постоянное значение. Например, для функции поверхностями уровня будут концентрические сферы с центром в начале координат ( Рис 1.2.).