5. Побудова Атрактора за допомогою алгоритму тимчасової затримки
Для побудови Атракторов існують два найбільш поширених алгоритму: детермінований і рандомізований. Тут ми розглянемо ще один спосіб побудови Атракторов - алгоритм часу затримки. Отримав він свою назву через те, що колір точки визначається часом тікання на нескінченність - числом ітерацій.
Нижче наведена реалізація алгоритму часу тікання на мові Java:
public class JuliaPainter implements Painter{
private Rectangle2D getBounds()
{
return new Rectangle2D.Double(-2, -2, 4, 4);
}
private AffineTransform getTransform()
{
Rectangle2D rectangle = getBounds();
double scale = Math.min((size.width - 2 * BORDER) / rectangle.getWidth(),
(size.height - 2 * BORDER) / rectangle.getHeight());
AffineTransform transform =
AffineTransform.getTranslateInstance(
-rectangle.getCenterX(), -rectangle.getCenterY());
transform.preConcatenate(AffineTransform.getScaleInstance(
scale, -scale));
transform.preConcatenate(AffineTransform.getTranslateInstance(
size.getCenterX(), size.getCenterY()));
return transform;
}
public Image createImage() throws java.awt.geom.NoninvertibleTransformException
{
BufferedImage image = new BufferedImage(size.width, size.height,
BufferedImage.TYPE_INT_RGB);
Graphics graphics = image.getGraphics();
graphics.setColor(Color.WHITE);
graphics.fillRect(0, 0, size.width, size.height);
AffineTransform resultTransform = new AffineTransform();
resultTransform.concatenate(getTransform());
Complex z;
int n;
for (int x = 0; x < size.width; ++x)
for (int y = 0; y < size.height; ++y)
{
n = 0;
Point2D point = resultTransform.inverseTransform(
new Point2D.Double(x, y), null);
z = new Complex(point.getX(), point.getY());
while (Complex.abs(z) < MAX_Z && n < MAX_ITER)
{
z = map.map(z);
++n;
}
image.setRGB((int)x, (int)y,
colorer.getColor(n, z).getRGB());
}
return image;
}
public void setColorer(Colorer colorer)
{
this.colorer = colorer;
}
public void setMap(Map map)
{
this.map = map;
}
public void setSize(Rectangle size)
{
this.size = size;
}
private Rectangle size = new Rectangle(640, 480);
private Colorer colorer = null;
private Map map = null;
private static final int BORDER = 20;
private static final int MAX_Z = 10;
private static final int MAX_ITER = 50;
}
Висновок
У ході виконання науково-дослідницької роботи “Моделі та алгоритми реалізації атракторів ” отримані такі основні результати:
Показано, що у двовимірній системі нелінійних осциляторів можлива стабілізація руху на нестійкому циклі за рахунок серії послідовних керованих впливів на елементи системи. При цьому величина зовнішнього впливу розраховується на основі поточних координат елементів системи.
Розвинена методика кластерізації нестаціонарних часових рядів з метою виділення квазістаціонарних ділянок, яка забезпечує динамічний аналіз часової реалізації без реконструкції модельних рівнянь.
Розвинена методика реконструкції систем із запізненням.
Розв’язана задача захисту інформації при передачі її у мультиплікативних каналах зв'язку.
Література
Н. С. Бахвалов Численные методы т. 1. / – М.: “Наука”, 1973. – 631 с.
Ю. И. Наймарк, П. С. Ланда Стохастические и хаотические колебания / – М.: “Наука”, 1987. – 423 с.
В. И. Арнольд Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. / – М.: “Наука”, 1978. – 302с.
Современные проблемы математики. Динамические системы – 2./ – М.: ВИНИТИ, 1985. – 312 с.
Р. Боуэн Методы символической динамики / М: Мир, 1989. – 540 с.
Milnor J. On the concept of attractor. /Commune. Math. Phys., 1995 – 99 – № 2, p. 177 – 196
В. С. Афраймович, В. В. Быков, Л. П. Шильников О возникновении и структуре Атрактора Лоренца / ДАН СССР, 1977 – т. 234 – № 2,
с. 336 – 339
Lanford O. E. Computer Pictures of the Lorenz Attractor / Lect. Notes in Math., 1997 – № 615, p. 113 – 116
Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский Лекции по квантовой механике / Л: Издательство ленинградского университета, 1980. – 198 с.
Бенинга Ш. Финансовое моделирование с использованием EXCEL – М: “Вильямс”, 2007. – 592с.
М. Хаертфельдер, Е. С. Лозовская, Е. Хануш Фундаментальный и технический анализ рынка ценных бумаг. – СПб.: “Питер”, 2004. – 478с.
Сугаков В. Й. Основи синерґетики. — К.: Обереги, 2001. — 287 с.
Кузнецов С. П. Динамический хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 256 с.
Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическя динамика. — М.: Мир, 1984. — 528 с.
Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // Странные Атракторы. — М.: Мир, 1981. — С. 88-116.
Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение.— М.: Мир, 1988. — 248с.
Ott E. Chaos in Dynamical Systems. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-01084-5 Weisstein E. W. Lorenz attractor