Определение статистических характеристик выборки Точечные оценки результатов измерений

При статистической оценке результатов измерений выделяют точечные и интервальные оценки.

Точные оценки (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение) являются случайными величинами, значения которых зависят от объема выборок экспериментальных данных, а закон их распределения определяется законом распределения генеральной совокупности результатов измерений.

Точечные оценки не дают, однако, информации о точности конкретной оценки. Для устранения этого недостатка применяется интервальная (доверительная) оценка, позволяющая по данным определенной выборки указать интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находиться истинное, но не известное значение параметра распределения генеральной совокупности.

Выделяют следующие статистические характеристики выборки:

1. Размах R– разность между наибольшим и наименьшим значениями результатов измерений

(7)

2. Математическое ожидание M_х – величина, характеризующая положение центра группирования случайных величин, около которого располагаются, например, результаты единичных измерений. В случае отсутствия систематической погрешности пи многократных измерениях одной и той же величин в одних и тех же условиях математическое ожидание можно рассматривать как наибольшее приближение к истинному значению измеряемой величины

, (8)

где - среднее арифметическое значений, х_i – результат i-ого измерения, n – количество измерений.

3. Дисперсия Д_х характеризует величину рассеяния случайной величины, например, результатов единичных измерений, относительно центра группирования M_х

, (9)

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому для облегчения сравнения рассеяния случайной величины с ее значениями используют среднее квадратичное отклонение.

4. Среднее квадратичное отклонение (СКО) S_х имеет размерность самой случайной величины и определяется

, при n20 (10)

и

, при n<20 (11)

5. Поскольку число единичных измерений, как правило, ограничено, то при повторении серии единичных измерений этой же величины получилось бы новое значение среднего арифметического. Повторив многократно серии измерений и вычисляя каждый раз их среднее арифметическое значение, принимаемое за результат измерений, можно убедиться в рассеянии средних арифметических значений. Характеристикой этого рассеяния является среднее квадратичное отклонение результата измерений среднего арифметического

(12)

Из формулы (12) видно, что погрешность среднего арифметического значения из ряда измерений всегда меньше, чем погрешность единичных измерений S_х. Формула (12) определяет фундаментальный закон теории погрешностей, согласно которому если необходимо повысить точность результата (при исключенной систематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений необходимо увеличить в 9 раз и т. д.

Таким образом, при n случайную погрешность результата измерений можно было бы свести к нулю.

Средняя квадратичная погрешность результата измерений среднего арифметического используется для определения погрешности результата измерений с многократными наблюдениями.

6. Коэффициент вариации. Часто для предварительной оценки закона распределения параметра используют относительную величину СКО – коэффициент вариации.

, или (13)

Величина коэффициента вариации говорит об однородности изучаемой совокупности, так, если вариация меньше или равна 33%, то совокупность считается однородной.