2.4. Раскрытие статической неопределимости

При раскрытии статической неопределимости пространственной стержневой системы методом сил необходимо уделять особое внимание правильному выбору основной системы, которая должна быть статически определима и геометрически (мгновенно) неизменяема. На такую систему должно быть наложено шесть внешних связей так, чтобы плоскость, проходящая через две любые катковые (шарнирно-подвижные) опоры не совмещала шарнирно-неподвижную опору. Степень статической неопределимости вычисляется по формуле

, (2.4)

где R - число опорных стержней (связей); U - число независимых уравнений статики, U=6.

Канонические уравнения метода сил имеют вид:

, (2.5)

где - податливость основной системы, равная перемещению по направлению отброшенной связи, вызванному действием дополнительной неизвестной - перемещение по направлению связи, вызванное внешней нагрузкой F .

2.5. Определение перемещений

При вычислении коэффициентов канонических уравнений (2.5) необходимо воспользоваться интегралом Мора с удержанием членов, учитывающих изгибающие и крутящие моменты, т.е.

(2.6)

где - внутренние усилия в стержнях основной системы от единичной силы - то же от - то же от внешней нагрузки F ; - изгибные и крутильная жесткости; - число грузовых участков.

Момент инерции при кручении прямоугольных поперечных сечений вычисляется по формуле , в которой коэффициент определяется по табл.2.1 в зависимости от отношения .

3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для пространственной стержневой системы, схема которой принимается согласно п.1.2 и числовых данных, взятых по шифру из табл.1.1, требуется:

1. Раскрыть статическую неопределимость, определить опорные реакции и построить эпюры продольной силы , изгибающих моментов и крутящего момента .

2. Из условий прочности по III гипотезе прочности подобрать требуемые размеры круглого и прямоугольного поперечных сечений ломаного бруса.

3. Построить эпюры нормальных и касательных напряжений в расчетных сечениях круглой и прямоугольной форм, найти положение нейтральной линии и опасных точек.

4. Произвести окончательную проверку прочности стержневой системы.

П р и м е ч а н и е : при всех расчетах призматические брусья сориентировать в пространстве так, чтобы меньшая сторона прямоугольника b была параллельна главной оси ox, а большая сторона h- главной оси oy . Вопрос о рациональном расположении прямоугольных стержней в данной постановке задачи не рассматривать.

4. ПРИМЕР РАСЧЕТА

Последовательность расчета рассмотрим на примере коленчатого пространственного стержня, изображенного на рис.1,а, при следующих числовых данных:

4.1. Раскрытие статической неопределимости

Изображаем в масштабе (например, М 1:5) расчетную схему стержневой системы, предполагая, что все нагрузки и опорные связи приложены к узлам, образованным пересечением геометрических осей отдельных стержней (рис.1,б). Вычисляем степень статической неопределимости. Так как на систему наложено 7 связей, то, согласно (2.4), получаем n=7-6=1, т.е. стержневая система один раз статически неопределима.

Выбираем основную систему метода сил, отбрасывая одну "лишнюю" связь в узле В (рис.2,а). Убеждаемся, что полученная система кинематически неизменяема (см. п.2.4).

Рассматриваем грузовое состояние основной системы (рис.2,б). Определяем опорные реакции в оставшихся 6 связях, используя уравнения равновесия в произвольно выбранной общей правовинтовой системе координат ;

В каждом из 4 грузовых участков вводим текущее сечение с местной правовинтовой системой координат , получаемой поворотом общей системы координат так, чтобы ось совместилась с осью , направленной вдоль стержня. Составляем выражения для продольной силы N, изгибающих и крутящего моментов на каждом участке, используя правило знаков из п.2.2, и вычисляем характерные значения внутренних усилий.

Для 1-го грузового участка :

Для 2-го грузового участка :

Для 3 грузового участка :

Рис.1. Заданная рама а) и её расчётная схема б)