30. Интегральный метод

Интегральный метод применяется для измерения влияния факторов в мультипликативных, кратных и смешанных кратно-аддитивных моделях. Метод называется так потому, что для получения его формул использовалось интегральное исчисление. Самое важное, что следует знать об интегральном методе – это то, что он позволяет получать более точные результаты расчета влияния факторов по сравнению с методом цепных подстановок, индексным методом, методами абсолютных и относительных разниц, а также по сравнению с другими методами, которые мы называли в начале этой главы (кроме логарифмического метода). Причина в том, что в этих методах общее приращение результативного показателя представляется как сумма его приращений под влиянием изолированных друг от друга факторов. Например, если результирующий показатель F зависит от трех факторов: х, у и z, – то его приращение представляется как сумма трех приращений:

F = F^x + F^y + F^z.

На самом же деле факторы действуют не изолированно, они взаимодействуют друг с другом и влияют на результирующий показатель совместно, из-за чего происходит дополнительный прирост результирующего показателя, который можно обозначить, как F^{x, y, z}, так что на самом деле приращение F представляет собой сумму четырех приращений:

F = F^x + F^y + F^z + F^{x, y, z}.

По справедливости, приращение из-за взаимодействия факторов (F^{x, y, z}) должно быть распределено между оценками влияния всех факторов (в данном примере между F^x, F^y и F^z). Но особенность формул МЦП, МАР, МОР и индексного метода в том, что это приращение не распределяется, а присоединяется к приросту результативного показателя под влиянием того фактора, который находится в модели на последнем месте (в данном примере – к величине F^z). Соответственно, влияние последнего фактора завышается, а остальных – занижается. Таким образом, индексный метод, методы цепных подстановок, абсолютных и относительных разниц несут в себе погрешность, они дают неточные результаты. Кстати, из-за того, что величина F^{x, y, z} в этих методах не распределяется между оценками факторов, она была названа неразложимым остатком.

В интегральном методе эта неточность устраняется за счет того, что дополнительный прирост результативного показателя от взаимодействия факторов (неразложимый остаток) делится поровну между оценками влияния всех факторов (раскладывается). Из-за этого интегральный метод дает точные и единообразные результаты, которые не зависят от местоположения факторов в модели. Соответственно, при использовании интегрального метода для мультипликативных моделей не требуется предварительная классификация и расстановка факторов в определенном порядке.

Приведем формулы интегрального метода для мультипликативных моделей. Для двухфакторных моделей

формулы оценок влияния факторов выглядят следующим образом:

или ;

или .

На примере этих формул становится понятно, почему интегральный метод дает единообразные результаты, которые не зависят от места факторов в модели. Формулы расчета оценок обоих факторов абсолютно идентичны. Если записать модель в виде:

,

и, соответственно, заменить в формулах расчета оценок факторов х на у, а у – на х, то получим такие же две формулы, как исходные (и такие же результаты расчета по ним).

Для трехфакторных моделей

формулы имеют вид:

;

;

.

Обратим внимание читателей на последние слагаемые приведенных формул

в формулах для двухфакторной модели и

в формулах для трехфакторной модели. Эти слагаемые представляют собой неразложимый остаток, который разделен поровну, по числу факторов в этих моделях (соответственно, на 2 и 3 части) и присоединен равными частями к оценкам влияния каждого из факторов.

Приведем формулы интегрального метода для четырехфакторных моделей вида

:

;

;

;

.

Как видим, в этих формулах неразложимый остаток разделен на четыре части и также поровну распределен между оценками влияния всех факторов.

Интегральный метод, в принципе, применим к мультипликативным моделям и с большим количеством факторов, но его формулы для таких моделей очень громоздки, и пользоваться ими для расчетов «вручную» слишком трудоемко.

Формулы интегрального метода для кратных моделей

имеют вид:

; .

Прямые скобки означают, что выражение под знаком логарифма нужно брать по модулю.

Приведем формулы интегрального метода для смешанных моделей вида

.

Эти формулы имеют вид:

;

; .

Для смешанных моделей вида

формулы интегрального метода – следующие:

;

;

; .

Как видим, использование интегрального метода не требует знания процесса интегрирования, его рабочие формулы требуют только знания арифметики и умения вычислять натуральные логарифмы (что несложно даже с помощью калькулятора). В конце решения прямой задачи факторного анализа интегральным методом, как и в остальных методах, требуется проверка в виде сложения оценок влияния всех факторов и сравнения этой суммы с общим приращением результирующего показателя.

Рассмотрим применение интегрального метода на данных примера 1 из пункта 5.3 (табл. 5.8).

Таблица 5.8          

Исходные данные

Наименование показателя	Значение		
	план	факт
х	10	9	– 1
у	2	4	2
z	0,25	0,2	– 0,05
F = x y z	5	7,2	2,2

Проведем расчеты:

.

Проведем проверку:

F^y + F^x + F^z = – 0,667 + 4,283 – 1,417 = 2,199 ≈ 2,2.

Как видим, проверка сошлась лишь приблизительно. Это объясняется погрешностями округлений при расчетах оценок влияния факторов, так что в интегральном методе также следует обеспечивать высокую точность расчетов для хорошей сходимости результатов.

Сравним результаты интегрального метода с оценками, полученными при решении примера 1 методами МЦП, МАР и МОР (см. табл. 5.9).

Таблица 5.9