Интегральное исчисление функций одной переменной

211. -220. Найти неопределенные интегралы.

211. а) ò exp( - 8x3) x2 dx; б) ò x tg2x dx; в) ò (6x3 –7x2 – 3x) – 1 dx.

212. а) ò tg(5x + 3) dx; б) ò ln(x2 + 1) dx; в) ò (x3 – 1) (4x3 – x) – 1 dx.

213. а) ò ctg(2x–3) dx; б) ò ln2x dx; в) ò x2(x3+5x2+ 8x + 4) – 1dx.

214. а) ò x – 1cos2(1 + lnx) dx; б) ò arcsin2x dx; в) ò (x3 + 1) (x3 – x2) – 1 dx.

215. а) ò cos4x sin2x dx; б) ò x2arctgx dx; в) ò (x2 + 1) (x3+x2–x–1) –1dx.

____

216. а) ò 2x /Ö1 –4x dx; б) ò x – 2 ln 3x dx; в) ò (x4+1) (x3–x2+x–1) – 1 dx.

_

217. а) ò x (3x + 2) – 1 dx; б) ò (1 – x) – 1/2arcsinÖx dx; в) ò x (x3 – 3x + 2) - 1dx.

218. а) ò ex(e2x + 4) – 1 dx; б) ò x ln((1 + x) (1 – x) – 1) dx; в) ò x (x3 - 1) - 1dx.

219. a) òe – x(e2x–1) dx; б) ò x-5/2 ln2x dx; в) ò 32x/((2x–1) (4x2 – 16x + 15)) dx

_

220. а) ò (3x – 1) (x2 + 9) – 1 dx; б) ò eÖx dx; в) ò x2/(x3 + x2 + x + 1) dx.

221. -230. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

µ11

221. ò (x2 + 2x + 2) – 1 dx.222. ò x - 2 (1 – x2) - 5/3 dx.223. ò x lnx dx.

- µ00

µµ

224. ò x sinx dx.225. ò x – 2 (x + 1) – 1 dx.

01

1 _µ1

226. ò(√x – 1) – 1 dx.227. ò x3 exp( - x2) dx.228. ò(ex – cosx) –1 dx

000

µ1

229. ò x (x + 1) – 3 dx.230. ò x – 3/2 (1 –x) – 3/4 dx.

00

231. -240. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых даны.

231. y = 1/(1 + x2), y = x2/2.232. y = x2,y = x3/3.

233. y = ex, y = e – x, x = 1.234. y2 = 2x + 1, x – y – 1 = 0.

235. y2 + 8x = 16, y2 – 24x = 48.236. y = x(x – 1) 2, y = 0.

237. (y – x – 2) 2 = 9x, x = 0, y = 0.238. y = (x2 + 2x) e – x, y = 0.

239. x = y2(y – 1), x = 0.240. y = x – x5/2, y = 0.

241. -250. Вычислить длины дуг кривых, заданных следующими уравнениями.

241. y = x2/4 – 0,5lnx,1 £ x £ 2.

242. x = 5(t – sint), y = 5(1 – cost),0 £ t £ p.

_

243. r = Ö2ej, - p/2 £ j £ p/2.244. y = - ln cosx,0£x£p/6.

245. x = 3(2cost – cos2t),y = 3(2sint – sin2t),0 £ t £ 2p.

246. r = 1 - sinj, - p/2 £ j £ - p/6.247. y = ln(x2 – 1),2 £ x £ 3.

248. x = 4(cost + t sint),y = 4(sint – t cost),0 £ t £ 2p.

249. r = 8cosj,0 £ j £ p/4.250. y = (e2x+e-2x+3) /4,0 £ x £ 2.

Дифференциальные уравнения

251. -260. Найти общее решение дифференциального уравнения.

251. xy'-2y=x3ex.252. (x+1) y'-2y=(x+1) 4.

253. x2y'+2xy=cosx.254. xy'+y=x+1.

255. y'cosx - ysinx=4x3.256. y'-ycosx= exp(sinx).

257. x2 y'+2xy=1.258. y'+2xy=2x exp(-x2).

259.2xy'-y=2x3/2cosx.260. y'+ytgx=2xcosx.

261. -270. Найти общее решение дифференциального уравнения.

261. y"y3=1.262. y"'=(y") 3.

263. y" (x-1) - y'=x(x-1) 2.264. (1+x2) y"+1+(y') 2=0.

265. yy"+(y') 2=0.266. xy"=y'ln(y'/x).

267. (1-x2) y"=xy'.268. y"x+y'=x2.

269. xy"'+y"=1+x.270. y"=-(x/y').

271. -280. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

271. y"-9y=e-2x; y(0) =0,y'(0) =0.

272. y"-4y=x-1; y(0) =0,y'(0) =0.

273. y"+2y'+y=cosx; y(0) =0,y'(0) =0.

274. y"+3y'+2y=1+x+x2; y(0) =0,y'(0) =1.

275. y"+2y'+5y=13e2x; y(0) =1,y'(0) =4.

276. y"+2y'-8y=16x+4; y(0) =2,y'(0) =6.

277. y"+4y'-12y=8sin2x; y(0) =0,y'(0) =0.

278. y"-4y'+13y=26x+5; y(0) =1,y'(0) =0.

279. y"+y=cos3x; y(p/2) =4,y'(p/2) =1.

280. y"-4y'+3y=e5x; y(0) =3,y'(0) =9.

281. -290. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения.

281. x1'+x1-3x2=0, x2'-2x1=0.282. x1'-4x1+x2=0, x2'+2x1-5x2=0.

283. x1'-x1+2x2=0, x2'+3x1-6x2=0.284. x1'+5x1+4x2=0, x2'+2x1+3x2=0.

285. x1'-6x1-3x2=0, x2'+8x1+5x2=0.286. x1'-3x1+2x2=0, x2'-2x1-8x2=0.

287. x1'+5x1+8x2=0, x1'+3x1+3x2=0.288. x1'-x1+x2=0, x2'-x1-x2=0.

289. x1'+4x1-x2=0, x2'+2x1+x2=0.290. x1'+x2=0, x2'-2x1-2x2=0.

Найти интегральную кривую уравнения y"-k2y=0 (k¹0), которая касается прямой y-y0=a(x-x0) в точке (x0, y0).

Тело массой m падает с высоты h под действием силы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной скорости с коэффициентом k. Начальная скорость тела равна нулю. Найти закон движения тела.

Тело массой m скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость V0. На тело действует сила трения, равная –km. Найти расстояние, которое тело пройдет до полной остановки.

Найти интегральную кривую уравнения y"+k2y=0 (k¹0), касающуюся прямой y-y0=a(x-x0) в точке (x0, y0).

Найти уравнение кривой, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания. Кривая проходит через точку (2; 1).

Материальная точка массы m перемещается по прямой под влиянием внешней силы F=Asinwt и восстанавливающей силы, которая направлена к началу отсчета перемещений и прямо пропорциональна расстоянию точки от начала отсчета с коэффициентом k=4mω2. Сопротивление среды отсутствует. Определить закон движения материальной точки, если при t=0 она находилась в начале отсчета с нулевой скоростью.

Найти уравнение кривой, подкасательная которой имеет постоянную длину a. Кривая проходит через точку (a; e).

Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1), если отрезок касательной к кривой, заключенный между точкой касания и осью Ox делится пополам в точке пересечения с осью Oy.

Найти уравнение кривой, у которой сумма координат точки касания равна удвоенной подкасательной. Кривая проходит через точку (1; 1).

Найти интегральную кривую уравнения y¢sinx=ylny, проходящую через точку (p/2; 1).