Элементы алгебры

51. -60. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

51.52.

ì3x1+ x2+ x3+ x4+ x5= 5, ì x1+2x2+ x3+6x4+ x5=4,

í2x1 - x2+3x3 = 4, í3x1 - x2 - x3+ x4+ =1,

î 5x2+6x3+ x4+ =11. î x1+3x2+5x3 =9.

53.54.

ì3x1 - x2+ x3+6x4+ x5=6, ì5x1+ x2+ x3+3x4+ x5=5,

í x1+ 5x3+ x4-7x5 =6, í - 2x2+4x3+ x4+ x5=3,

î x1+2x2+3x3+ x4+ x5 =6. î x1-3x2+5x3 =2.

55.56.

ì - x1+ x2+ x3+2x4+ x5=4, ì-2x1 - x2+2x3 =2,

í2x1 + x3 - 3x4+5x5=3, í x1+ x2+4x3+ x4+3x5=8,

î3x1 - x3+6x4+ x5=6. î3x1+ x2 - x3 =5.

57.58.

ì2x1+ x3 - x4+ x5=2, ì 6x1+ x2+ x3+ 2x4+ x5=9,

í4x1+ x2+ 3x3+ x4+2x5=7, í - x1 - x3+ 7x4+8x5=14,

î - x1+ x3+2x4+ x5=2. î x1+ 2x3+ x4+ x5=3.

59.60.

ì-2x1+ 3x3+ x4+ x5=5, ì2x1+ 3x3+ x4 =4,

í 3x1+ x2+ x3+6x4+2x5=9, í x1 - x3+2x4+3x5=4,

î - x1+ 2x3 - x4+2x5=3. î3x1+3x2+6x3+3x4+6x5=15.

61. -70. Для данной матрицы A построить обратную матрицу A-1. Правильность построения обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.

61. é3 2 1ù 62. é 1 - 5 3ù 63. é4 - 3 2ù

A= ê2 3 1 ê A= ê 2 4 1 ê A= ê2 5 - 3 ê

ë2 1 1û. ë-3 3 - 7û. ë5 6 - 2û.

64. é-2 5 - 6ù 65. é2 - 1 - 1ù 66. é3 - 9 8ù

A= ê 1 7 - 5 ê A= ê3 4 - 2 ê A= ê2 - 5 5 ê

ë 4 2 - 1û. ë3 - 2 4û. ë2 - 1 1û.

67. é1 1 - 1ù 68. é2 3 1ù 69. é7 - 5 0ù

A= ê8 3 - 6 ê A= ê4 - 1 5 ê A= ê4 0 11ê

ë4 1 - 3û. ë1 - 2 4û. ë2 3 4û.

70. é1 7 - 2ù

A= ê3 5 1 ê

ë-2 5 - 5û.

71. -80. Определить собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы второго порядка.

71. é-1 3 ù 72. é4 - 1ù 73. é-6 5ù 74. é-4 - 3 ù

ë2 0 û. ë-2 3û. ë 2 - 3û. ë-2 1 û

75. é-3 2 ù 76. é1 - 2ù 77. é 4 - 1ù 78. é-1 3ù

ë 5 - 6û. ë-3 - 4û. ë-2 5û. ë2 - 2û.

79. é 1 - 2 ù 80. é1 2ù

ë-3 6 û. ë3 2û.

81. -90. Дано комплексное число z. Требуется:

1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

найти все корни уравнения w3+z=0, изобразить эти корни на плоскости комплексной переменной.

_ _ _

81. z=8/(1+iÖ3).82. z=-Ö8/(1+i).83. z=Ö8/(1-i).

_ _ _

84. z=2/(1-iÖ3).85. z=-2/(-i+Ö3).86. z=1/(Ö3+i).

_ _ _

87. z= - 4/(1-iÖ3).88. z=-Ö8/(-i+1).89. z=Ö8/(1+i).

_

90. z=1/(Ö3-i).

Введение в математический анализ

91. -100. Построить график функции y = f(x) посредством преобразования графика некоторой простейшей элементарной функции.

91. f(x) = (3x+2) / (2x+3).

92. f(x) = 3cos(2x – 5).

________________

93. f(x) =Ö(4x2+7x –2) / (4x-1).

94. f(x) = 9x2 – 6x + 3.

95. f(x) = ln(x2 – 6x + 9).

96. f(x) = - 2sin(3x + 4).

97. f(x) =2x3 – 18x2 + 54x – 53.

98. f(x) =ln((x+1) - 2 / e2).

99. f(x) =

f(x) = (3x2 – 5x + 2) /(2x2 + x – 3).

101. -110. Haйти пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

_________ _

101. а) lim (Ö4x2 – x + 3 - 2x); б) lim (Öx – 1) – 1sin(1 – x);

x ® µ x ®1

в) lim (1 + x + x2) 1/x; г) lim (5x - 3x) /(7x – 4x).

x ® 0 x ® 0

102. а) lim (x2+2x–3) /(3x2+14x+15); б) lim x sin((2x + 1) / (x2+4x3));

x® - 3 x ® µ

в) lim (1 – 2sin2x) 1/xsinx; г) lim x – 2 ln(cos2x).

x ® 0 x ® 0

______ _______ _____

103. а) lim (3Ö8x4 + 1 + Öx + 3) / (3Öx + 2(1 + Öx2 + 9));

x ® µ

б) lim sin2(x – 1) / (4x2 + 3x +2 ); в) lim ;

x ® µ x®¥

г) lim (e2x – 3ex + 2) /x.

x ® 0

__________ ______

104. а) lim (Öx2 + x + 1 - Öx2 - x); б) lim (1 – cos2x) /(x sinx);

x ® µ x ® 0

в) lim((2x2+3x+4) /(2x2+x+1)) –x/2; г) lim [ln(1 + 3lnx) / ln(1 + 4lnx)].

x ® µ x ®1

105. а) lim (3x5 + 2x2 + 1) /(1 + 4x3 – x5); б) lim x – 2sin2(x2 + 2x);

x® µ x ® 0

в) lim ; г) lim (esinx – ex) /x.

x ® 0 x ® 0

_______________

106. а) lim (Öx2 + 4x - Öx2 + 6x + 1); б) lim (cos 5x) /(sin 2x);

x ® µ x ® p/2

в) lim ((x2 + 7x + 8) /(x2 + 14x + 1)) – x/3; г) lim (e – ecosx ) /x.

x ® µ x ® 0

_____

107. а) lim (x2 - 5x + 6) /(x3 - 8x + 8); б) lim (1 - Ö1 – x) – 1 sinx;

x ® 2 x ® 0

_____

в) lim (x + Ö1 + x) 3/x; г) lim x – 1 ln(cosx + sinx).

x ® 0 x ® 0

108. а) lim (3x4 – 2x2 + 1) /(2x4 + 3x2 – 2);

x ® µ

б) lim (sinx – sin3x) /(sin6x – sin7x);

x ® 0

в) lim ; г) lim (ln cosx) /(cos3x – cosx).

x ® 0x ® 0

109. а) lim ; б) lim (cos8x – cos2x) /(cos6x – cos4x);

x®5/2x ® 0

______

в) lim (9 –2x) 1/(4 – x); г) lim ln(x + Öx2 + 1) /x.

x ® 4x ® 0

____________

110. а) lim (x - Öx + 2) /(Ö4x + 1 - 3); б) lim (sin2x– sinx) /(cos4x – cos2x);

x ® 2 x ® 0

в) lim ((2x + 1) /(3x +1)) 1/x; г) lim (ln(3 – 2tgx)) /cos2x.

x®0 x ® p/4

111. -120. Исследовать на непрерывность функцию y = f(x), найти точки разрыва и определить их род. Построить схематический график функции.

111. 112. 113.

114. 115.

æ (2x2 + 3) /5приxÎ( - ¥, 1] ;

116. í 6 – 5xприx Î (1, 3);

è x – 3приx Î [3, +¥).

117. arctg .118. x ctgx.

119. .120 .