Вариант 9
ЗАДАЧА 1
Имеется 10 карточек, среди которых по две карточки с цифрами «4» и «5»; по три карточки с цифрами «3» и «6». Четыре из них берутся одна за другой и выкладываются в ряд. Найти вероятность того, что получится число «3456».
ЗАДАЧА 2
Вероятность того, что первый из трех друзей придет на встречу, составляет 0,75; для второго и третьего друга эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятности того, что на встречу друзей придут хотя бы два друга.
ЗАДАЧА 3
В двух урнах имеются черные и белые шары. В первой урне 8 белых и 1 черный шар, во второй 6 белых и 7 черных. Из первой урны переложили во вторую случайно выбранный шар, после чего из второй урны случайным образом вынимается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
ЗАДАЧА 4
Внутрь круга наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного шестиугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в правильный шестиугольник пропорциональна площади шестиугольник и не зависит от его расположения относительно круга.
ЗАДАЧА 5
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течении одной минуты составляет 0,004. Найти вероятность того, что в течении одной минуты обрыв нити произойдет на пяти веретенах
ЗАДАЧА 6
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для дискретной случайной величины Х, распределенной по закону:
Вариант 10
ЗАДАЧА 1
В партии из 100 деталей 6 нестандартных; из партии наугад выбирается 10 изделий. Определить вероятность того, что среди 10 изделий будет два нестандартных.
ЗАДАЧА 2
При увеличении напряжения может произойти разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя одного их трех последовательно соединенных элементов. Вероятности выхода из строя первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,3; 0,15 и 0,2. Определить вероятность разрыва цепи, если для этого достаточно, чтобы из строя вышел хотя бы один элемент.
ЗАДАЧА 3
В трех урнах имеются черные и белые шары. В первой урне 5 белых и 1 черный шар, во второй 6 белых и 4 черных, в третьей - 9 белых и 2 черных. Из наугад выбранной урны случайным образом вынимается шар. Найти вероятность того, что он белый.
ЗАДАЧА 4
Внутрь правильного
треугольника
наудачу брошена точка. Найти вероятность
того, что точка окажется внутри трапеции
,
где точки
являются соответственно серединами
сторон
и
треугольника
.
Предполагается, что вероятность попадания
точки в трапецию пропорциональна площади
трапеции и не зависит от ее расположения.
ЗАДАЧА 5
Произведено 5 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что будет не менее трех попаданий.
ЗАДАЧА 6
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для дискретной случайной величины Х, распределенной по закону:
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ
Теория вероятностей и математическая статистика.
Правила суммы и произведения в комбинаторике. Примеры.
Перестановки без повторений. Примеры.
Размещения без повторений. Примеры.
Сочетания без повторений. Примеры.
Размещения с повторениями. Примеры.
Основные определения. Случайные, достоверные и невозможные события.
Классическое определение вероятности. Примеры.
Статистическое определение вероятности. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Примеры.
Геометрическое определение вероятности. Примеры.
Пространство элементарных событий. Сигма алгебра событий.
Операции над событиями и их свойства. Примеры
Аксиомы вероятностей. Свойства вероятностей.
Вероятностное пространство. Предмет теории вероятностей.
Теоремы сложения вероятностей.
Условные вероятности. Независимость событий.
Умножение вероятностей для произвольного числа событий.
Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Формула Бернулли.
Локальная приближенная формула Муавра-Лапласа.
Интегральная приближенная формула Лапласа.
Приближенные формулы Пуассона.
Закон распределения случайной величины. Дискретные случайные величины. Примеры.
Биномиальное распределение.
Гипергеометрическое распределение. Примеры.
Распределение Пуассона.
Общее определение случайной величины.
Функция распределения и её свойства.
Непрерывные случайные величины.
Плотность вероятности. График плотности вероятности. Примеры
Основные свойства плотности вероятности (дифференциальной функции распределения).
Равномерное распределение на отрезке.
Закон нормального распределения на прямой (закон Гаусса).
Математическое ожидание случайной величины.
Основные свойства математического ожидания.
Дисперсия. Свойства дисперсии.
Понятие о законе больших чисел. Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева.
Теорема Бернулли.
Понятие о центральной предельной теореме.
Статические методы обработки экспериментальных данных.
Генеральная совокупность и выборка. Основные задачи математической статистики.
Вариационные ряды. Частота.
Эмпирический закон распределения дискретной случайной величины.
Эмпирический закон распределения непрерывной случайной величины.
Оценки параметров в статистике. Точечные оценки.
Интервальные оценки. Доверительные интервалы и доверительные вероятности. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормально распределенного признака при известном среднем квадратичном отклонении.
Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормально распределенного признака при неизвестном среднем квадратичном отклонении.
Статистическая проверка гипотез.