1.2.2.Оптимальний зв′язок на виході лазера

При сталій швидкості накачування існує певне значення коефіцієнта пропускання вихідного дзеркала _опт, при якому досягається максимальна вихідна потужність. Це явище спричинене взаємним впливом двох механізмів: з однієї сторони, вихідна потужність при збільшенні пропускання вихідного дзеркала повинна зростати, а з іншої – вона має зменшуватись через те, що з ростом пропускання ростуть і загальні втрати у резонаторі.

Для виведення можна скористатися виразом (1.26). Необхідно накласти умову – це відповідатиме максимуму вихідної потужності. При цьому необхідно враховувати, що теж є функціями від величини . Тому, досить просто таким чином отримати вираз для чотирирівневого лазера. Прийнявши для спрощення, що , вираз (1.26) можна переписати так:

	(1.32)
де	(1.33)
	(1.34)

Величина представляє собою відношення фактичної швидкості накачування W_p до її мінімального значення (тобто такої швидкості накачування, яка необхідна для досягнення порогу при достатньо малих втратах на виході з резонатора – ).

Єдиним членом, який залежить від , є величина A. Отже, оптимальний зв’язок на виході можна отримати, накладаючи умову . При цьому можна отримати оптимальне значення величини A:

(1.35)

Знайшовши A_опт, використовуючи (1.32), з виразу (1.7а) можна знайти значення _опт. А відповідний вираз для вихідної потужності:

(1.36)

Втрати у вихідній потужності внаслідок неоптимальних умов генерації найбільше впливають біля порога генерації (тобто коли x_min≈1). Проте, коли генерація відбувається при значному перевищенні над порогом, зміна зв’язку на виході мало впливає на вихідну потужність.

1.2.3. Нестаціонарний режим роботи лазера

Розглянемо випадок, коли накачування описується ступінчатою функцією. Таким чином, приймаємо, що W_p=0 при t<0 і W_p(t)=W_p (W_p не залежить від часу) при t>0. Приймаємо, що лазер генерує на одній моді.

Рис.3. Часові залежності повної інверсії VaN(t) і числа фотонів q(t) в резонаторі

Розглянемо деякі особливості кривих на рис.3, на якому зображені залежності N(t) i q(t), отримані шляхом числового розрахунку для трирівневого лазера при таких початкових умовах – N(0)=-N_t i q(0)=q_i (для чотирирівневого лазера залежності будуть аналогічні, за винятком того, що N(0)=0 і початок осі ординат слід змістити на 2мкс вправо): кількість фотонів q(t) описується регулярною послідовністю пічків, амплітуда яких поступово зменшується; інтервал між ними рівний кільком мікросекундам; аналогічний вигляд матиме й вихідне випромінювання; інверсія населеностей N(t) осцилює навколо стаціонарного значення N₀; згідно з виразами (1.22) для чотирирівневого лазера N(t) i q(t) у кінці-кінців досягають своїх стаціонарних значень.

Осцилюючий характер кривих N(t) i q(t) пояснюється тим, що після того, як змінилася інверсія населеностей, кількість фотонів змінюється не зразу, а через деякий час. Таким чином, коли N(t) перший раз проходить через значення N₀, виконується порогова умова генерації й лазер починає генерувати. При цьому деякий час кількість фотонів зростає відносно свого початкового значення,і завдяки процесу накачування інверсія населеностей теж може неперервно зростати протягом цього часу. Але, коли q(t) досягне досить великого значення (тобто q≈q₀), N(t) почне зменшуватись внаслідок великої швидкості вимушеного випромінювання. В момент часу, коли q(t) досягає максимуму, N(t) спадає до значення N₀. Оскільки швидкість вимушеного випромінювання ще досить велика, інверсія N(t) продовжує зменшуватись після досягнення значення N₀. При цьому лазер переходить в умови, які нижчі від порогових, і кількість фотонів зменшується до достатньо малого значення, щоб N(t) знову почала збільшуватись. В момент, коли інверсія досягає порогового значення, q набуває свого мінімального значення. Починаючи з цього моменту, q зростає і знову повторюється описаний цикл.

Для невеликих коливань біля стаціонарних значень (тобто приблизно при t>14 мкс) динамічну поведінку системи можна описати аналітично. Якщо записати вирази для інверсії й кількості фотонів

	(1.37a)
	(1.37б)

і прийняти δN<<N i δq<<q, то у швидкісних рівняннях там, де є добуток Nq, можна знехтувати добутком δNδq і ці рівняння будуть лінійними відносно δN і δq. Таким чином, можна записати для чотирирівневого лазера [1]:

	(1.38)
	(1.39)

Підставивши (1.45) у (1.44), отримуємо:

(1.40)

Розв’язок таких диференційних рівнянь шукається у вигляді:

(1.41)

Звідси знайдемо, що величину s можна знайти з рівняння:

(1.42)

де ми прийняли, що:

	(1.43)
	(1.44)

Ці вирази можна переписати у зручнішому вигляді, використавши явні вирази для N₀ i q₀ – (1.22а) і (1.23). Вважаючи, що N₀<<N_t, у (1.43) можна знехтувати величиною W_p, і отримуємо:

	(1.45а)
	(1.45б)

де t₀ – постійна часу затухання коливання, ω – циклічна частота коливань.

Потужність випромінювання обчислюється за формулою [2]:

(1.46)

Варто також зауважити, що розглянута тут нестаціонарна поведінка має місце і для лазера, який генерує у стаціонарному режимі, якщо у ньому відбуваються несподівані збурення.

Приведений тут розгляд стосується лише випадку одномодової генерації і добре узгоджується з експериментальними даними. Теоретичний розгляд багатомодового режиму набагато складніший. При цьому необхідно врахувати часову й просторову інтерференцію мод і записати стільки рівнянь для електричних полів електромагнітних хвиль (для амплітуд і для фаз), скільки є мод. При багатомодовій генерації для твердотільних лазерів вихідне випромінювання являє собою цуг нерегулярних в часі імпульсів із випадковими амплітудами (нерегулярні пічки). Крім того, генерація не переходить у нестаціонарний режим, як зображено на рис. 3. Це зумовлено тим, що при переході від одного пічка до іншого, або від одного цуга пічків до другого, відбувається зміна мод, які генерують. В цьому випадку вихідна потужність лазерного випромінювання не є регулярною в часі і не описується якоюсь залежністю.