Дополнительные методы настройки алгоритмов численного решения
При тестировании модель реального процесса упрощается таким образом, чтобы при этих упрощениях можно было найти точное решение уравнений в частных производных, входящих в математическое описание процесса. Отсюда следует, что при моделировании реального процесса погрешность результатов моделирования может стать больше допустимой. В связи с этим при моделировании реального процесса необходимо проверить сходимость результатов моделирования и уточнить количество узлов. Для этого необходимо, варьируя количество узлов, установить, что результаты моделирования асимптотически сходятся к одному единственному решению. В качестве оптимального количества узлов можно принять такое, при котором отличие результатов моделирования от указанного решения не превышает заданного значения.
Другим, более надежным методом, который позволяет уточнить оптимальное количество узлов, полученное при тестировании, является оценка погрешности расчета баланса тепла в теле в процессе моделирования реального объекта. Для этого составляется уравнения баланса в момент времени t:
,
(7.22)
где Q0 - начальное количество тепла в теле, Qу - количество тепла, ушедшее из тела за время t, Qт - количество тепла, оставшееся в теле к моменту времени t.
Далее
конкретизируем приведенные величины
для случая исследования тепловых
процессов в пластине. Отметим, что, как
правило величина
известна точно, а
при использовании метода конечных
разностей вычисляются приближенно. В
связи с этим левая и правая части баланса
будут отличаться. Для оценки погрешности
моделирования определим величину:
(7.23)
При
варьировании количества узлов погрешность
будет изменяться. Допуская, что
можно
изучить эту зависимость и определить
оптимальное количество узлов, при
котором погрешность баланса тепла не
превзойдет допустимой.
Формулы
для определения Qу
и Qт
в
конечно-разностной форме при
имеют вид:
,
где
N
- количество внутренних узлов в расчетной
области, N+1
- фиктивный узел, t,
x
- расчетный шаг по времени и координате,
i -
индекс узла, n
- индекс временного шага, n*
- индекс, соответствующий текущему
моменту времени
.
Подобным образом можно исследовать погрешность результатов моделирования и определять оптимальное количество узлов для тел другой формы и при моделировании других процессов, например, массопереноса.
8. Проверка адекватности и адаптация модели
Термин адекватность означает соответствие. Для проверки адекватности модели объекту проводят специальные эксперименты на объекте по измерению выходных и входных параметров. Количество таких экспериментов значительно меньше, чем требуется при изучении объекта только экспериментальным путем. Так при установлении адекватности модели затвердевания слябов заготовки на машине непрерывного литья достаточно иногда измерить на рабочей скорости литья температуру в двух представительных точках: в поверхностном слое и в центре заготовки, и зафиксировать условия и режимы литья в процессе эксперимента.
Следует отметить, что таких экспериментов необходимо провести не менее 2-х. Последнее связано с тем, что условия металлургических экспериментов достаточно тяжелые как для измерительной техники, так и для экспериментаторов.
Пример результатов измерения показан на рис. 8.1 в виде кривых охлаждения указанных точек заготовки.
Известно, что погрешность измерения температуры складывается из погрешности вторичного прибора (например, потенциометра); погрешности, связанной с использованием компенсационных проводов; погрешности, возникающей из-за неоднородности химического состава термопар, и методической погрешности, возникающей по причине инерционности за-