2. Тестирование алгоритма решения задачи теплопроводности при теплообмене излучением с окружающей средой

1. Вывод критериев подобия для граничных условий излучением

Выведем критерии подобия для процесса нагрева пластины, охлаждаемой с обеих поверхностей одинаково путем излучения. Температура в начале процесса равномерно распределена по толщине пластины. Теплофизические свойства материала не зависят от температуры. Примем, что начало координат х = 0 находится в плоскости симметрии пластины. С учетом симметрии охлаждения пластины математическое описание процесса нагрева включает

• уравнение теплопроводности:

, (7.11)

которое решается в области: , , (7.12)

• начальное условие при t = 0: , (7.13)

• граничные условия при

х = 0: , (7.14)

x = S: , (7.15)

где t – время, Т – температура, х – координата по толщине пластины, отсчитываемая от плоскости симметрии, – температуропроводность, , с,  – теплопроводность, теплоемкость и плотность материала пластины, – начальное значение температуры, 2S – толщина пластины, t_к – конечное время нагрева,  – коэффициент теплоотдачи, _л = ₀ - коэффициент излучения серого тела, ₀ – коэффициент излучения абсолютно черного тела,  – степень черноты серого тела (поверхности пластины), Т_ср – температура греющей среды.

Преобразуем приведенную систему уравнений (7.11)-(7.15) таким образом, чтобы получить безразмерные комплексы, включающие следующие величины: температура, время, координата и коэффициент излучения. Для этого все уравнения системы разделим на величину Т_ср. Умножим обе части (11) на . Умножим первое неравенство (7.12) на , а второе - на . Числитель и знаменатель правой части условия (7.15) умножим на . Обе части уравнений (7.14) и (7.15) умножим на . В результате система (7.11)-(7.15) преобразуется в систему (7.11)-(7.15):

, (7.11)

, , (7.12)

: , (7.13)

, (7.14)

(7.15)

Обозначим полученные безразмерные комплексы в уравнениях (7.11)-(7.15) следующим образом:

1. Безразмерная температура - , (7.16)

2. Безразмерное время (число Фурье) - , (7.17)

3. Безразмерная координата - , (7.18)

4. Безразмерная начальная температура - , (7.19)

5. Критерий Старка - , (7.20)

Полученные критерий Старка имеет смысл, близкий к критерию Био, и его можно представить, как отношение термического сопротивления тела к термическому сопротивлению границы тела:

,

где - коэффициент теплоотдачи излучением.

С учетом обозначений система (7.11)-(7.15) примет вид:

(7.11)

(7.12)

(7.13)

(7.14)

(7.15)

Таким образом, решение системы (7.11)-(7.15) зависит от четырех комплексов и имеет вид:

(7.21)

Точные решения системы (7.11)-(7.15) представлены в виде таблиц для различных значений Sk и в работе [17] и используются в качестве тестов.