Варианты составления билетов для комплексного, междисциплинарного экзамена по специальности «Математика»

I

Этот вариант составления экзаменационных билетов целесообразно использовать для специальности 032200.21 – «Физика, Математика».

Так как вопросы по психологии и педагогике входят в программу экзамена по первой специальности, то в билеты включаются, в соответствии с программой, вопросы из алгебры, геометрии, математического анализа и содержательно связанные с ними вопросы по теории и методике обучения математике. Такой подход к составлению экзаменационного билета позволяет не только заслушать сообщение студента по одному из разделов математики, но и провести активный диалог с ним по другим разделам и дать ему возможность продемонстрировать свою практическую профессиональную подготовку при описании методики изучения соответствующего раздела математики в школе в виде фрагмента урока или других, выбранных студентом, активных форм изложения.

Ниже приводится возможное содержание экзаменационных билетов, составленных с учетом перечисленных требований.

Билет №1

Бинарные отношения. Отношения эквивалентности.

Цели и содержание обучения математике в средней общеобразовательной школе. Проблемы модернизации математического образования.

Билет №2

Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.

Реализация основных целей, функций и принципов проверки знаний учащихся при изучении натуральных чисел в школе.

Билет №3

Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком.

Развитие математического мышления учащихся. Понятие как форма математического мышления. Формирование понятия отрицательного числа в школьном курсе математики.

Билет №4

Поле комплексных чисел. Числовое поле. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.

Система основных дидактических принципов обучения математике в школе. Возможность реализации принципов воспитания, научности и доступности при изучении комплексных чисел.

Билет №5

Простые и составные числа.

Использование различных форм и видов проверки знаний учащихся при изучении обыкновенных дробей в школьном курсе математики.

Билет №6

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел.

Различные подходы к определению и классификации методов обучения математике. Возможность применения различных методов при изучении НОД и НОК в школьном курсе математики.

Билет №7

Сравнения и их свойства. Теоремы Эйлера и Ферма.

Основные направления внеклассной работы по математике в школе. Цели, задачи, содержание и формы её проведения. Факультативные занятия по математике, методы их проведения.

Билет №8

Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Изоморфизмы векторных пространств.

Структура и типология уроков математики. Требования к современному уроку математики. Система подготовки учителя к уроку.

Билет №9

Системы линейных уравнений. Различные способы решения системы линейных уравнений.

Основные виды математического мышления и пути их развития. Определение и классификация математических понятий. Формирование понятия системы линейных уравнений с двумя неизвестными в школьном курсе алгебры.

Билет №10

Многочлены над полем. Наибольший общий делитель двух многочленов и алгоритм Евклида.

Роль, функции и типология задач в современном обучении математике. Система задач для изучения формул сокращенного умножения многочленов.

Билет №11

Движения плоскости.

Использование учебного оборудования и печатных средств обучения при изучении центральной и осевой симметрии в школьном курсе геометрии.

Билет №12

Подобия плоскости.

Понятие как форма математического мышления. Определение и классификация математических понятий. Формирование понятия подобных фигур в школьном курсе планиметрии.

Билет №13

Аффинные преобразования плоскости.

Теорема, структура теоремы, виды теорем и связь между ними. Ознакомление школьников с различными методами доказательства теорем.

Билет №14

Скалярное и векторное произведения векторов.

Основные этапы решения математической задачи. Обучение школьников эвристической деятельности на каждом из этапов. Решение задач с помощью векторов в школьном курсе геометрии.

Билет №15

Прямая на плоскости и в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Научные методы обучения математике. Выбор оптимальной системы методов при изучении взаимного расположении прямых и плоскостей в школьном курсе стереометрии.

Билет №16

Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные и метрические задачи.

Дидактические принципы наглядности, сознательности, активности, связи теории с практикой. Возможность реализации этих принципов при изучении многогранников в школьном курсе геометрии.

Билет №17

Трехмерное евклидово пространство ТЕ₃.

Значение, цели, функции и содержание обучения математике в школе. Гуманизация и гуманитаризация школьного математического образования.

Билет №18

Площадь многоугольника.

Этапы изучения теорем в школьном курсе математики. Организация работы учащихся на каждом этапе на примере изучения одной из теорем о вычислении площадей многоугольников.

Билет №19

Гиперболическая геометрия Лобачевского на плоскости.

Основные направления внеклассной работы по математике. Факультативные занятия и методика их проведения.

Билет №20

Линии и поверхности в трехмерном евклидовом пространстве.

Система основных дидактических принципов обучения математике. Возможность реализации различных дидактических принципов при изучении фигур вращения в школьном курсе геометрии.

Билет №21

Отображения множеств (функции). Предел функции в точке.

Проблемное обучение математике. Построение урока с учетом требований проблемного обучения (примерная схема, структурный план) при изучении функций в школьном курсе математики.

Билет №22

Непрерывность функции в точке. Основные свойства непрерывных на отрезке функций.

Типология уроков математики. Нестандартные уроки и вспомогательные формы организации обучения математике в школе. Ознакомление школьников с понятием непрерывности функции в точке в контексте нетрадиционного урока.

Билет №23

Предел числовой последовательности. Существование верхней грани ограниченного сверху множества. Теорема о пределе монотонной последовательности. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Необходимый и достаточный признак сходимости последовательности.

Научные методы изучения математики. Возможность применения наблюдения, сравнения и аналогии при изучении арифметической и геометрической прогрессий в школе.

Билет №24

Определение и свойства степени. Степенная функция.

Цели, задачи и формы внеклассной работы с учащимися, проявляющими интерес к изучению математики. Возможность установления взаимосвязи учебных и внеклассных занятий при изучении степенной функции и её свойств.

Билет №25

Показательная и логарифмическая функции. Разложение в степенной ряд.

Программированное обучение математике. Возможность применения тестов при изучении логарифмической функции (уравнений, неравенств) в школьном курсе математики.

Билет №26

Тригонометрические функции и их основные свойства. Разложение синуса и косинуса в степенной ряд.

Использование рабочих и справочных таблиц, тетрадей с печатной основой, справочной и дополнительной литературы при изучении тригонометрических функций (уравнений, неравенств) в школьном курсе математики.

Билет №27

Дифференцируемые функции одной и нескольких переменных. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.

Понятие как форма математического мышления. Методика формирования математического понятия на примере изучения производной в школьном курсе математики.

Билет №28

Теорема Лагранжа. Условия постоянства, монотонности и выпуклости на промежутке.

Роль, функции и типология задач в современном обучении математике. Система задач для обучения школьников приемам исследования свойств функции с помощью производной.

Билет №29

Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям.

Учебник математики как средство обучения. Различные методы работы с учебником при изучении первообразной функции и её свойств в школьном курсе математики.

Билет № 30

Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Использование дидактических материалов, справочной и дополнительной математической литературы при изучении формулы Ньютона – Лейбница в школьном курсе математики.

Билет №31

Понятие площади плоской фигуры и длины дуги. Приложения определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины дуги.

Структура и типология уроков математики. Требования к современному уроку математики. Система подготовки учителя к уроку по изучению приложений интеграла к вычислению объемов тел.

Билет №32

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.

Основные направления внеклассной работы по математике в школе. Цели, задачи, содержание и формы её проведения. Факультативные занятия по математике, методы их проведения.

II

Этот вариант составления экзаменационных билетов целесообразно использовать для специальностей 032100.00 – «Математика» и 032100.01 – «Математика, информатика» в том случае, если к вопросам билетов варианта I добавляются вопросы по психологии и (или) педагогике, по возможности содержательно связанные или ориентированные на математическую часть билета. Такой подход к составлению билетов также позволяет не только заслушать сообщение студента по одному из разделов математики и методики ее преподавания, но и провести активный диалог с ним по другим разделам и дать ему возможность продемонстрировать свою практическую профессиональную подготовку в виде фрагмента урока или других, выбранных студентом, активных форм изложения.

Ниже приводится возможное содержание экзаменационных билетов, составленных с учетом перечисленных требований.

Билет №1

Бинарные отношения. Отношения эквивалентности.

Цели и содержание обучения математике в средней общеобразовательной школе. Проблемы модернизации математического образования.

Реформирование системы образования в РФ, Болонский процесс.

Билет №2

Система натуральных чисел. Принцип математической индукции.

Реализация основных целей, функций и принципов проверки знаний учащихся при изучении натуральных чисел в школе.

Роль учителя в современном обществе. Структура, сущность, функции, субъекты и этапы педагогической деятельности. Специфика педагогической деятельности учителя математики.

Билет №3

Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком.

Развитие математического мышления учащихся. Понятие как форма математического мышления. Формирование понятия отрицательного числа в школьном курсе математики.

Психологические особенности формирования положительной мотивации учащихся на уроке при изучении данного материала.

Билет №4

Поле комплексных чисел. Числовое поле. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.

Система основных дидактических принципов обучения математике в школе. Возможность реализации принципов воспитания, научности и доступности при изучении комплексных чисел.

Приемы организации и поддержания внимания на уроке при изучении данного понятия, математического факта, явления в школе.

Билет №5

Простые и составные числа.

Использование различных форм и видов проверки знаний учащихся при изучении обыкновенных дробей в школьном курсе математики.

Основные приемы активизации процессов памяти учащихся при изучении данной темы.

Билет №6

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел.

Различные подходы к определению и классификации методов обучения математике. Возможность применения различных методов при изучении НОД и НОК в школьном курсе математики.

Педагогические условия оптимального выбора методов воспитания при изучении данной темы.

Билет №7

Сравнения и их свойства. Теоремы Эйлера и Ферма.

Основные направления внеклассной работы по математике в школе. Цели, задачи, содержание и формы её проведения. Факультативные занятия по математике, методы их проведения.

Система, содержание, формы, методы и средства воспитания гражданина, патриота. Полиэтническое воспитание в процессе преподавания математики.

Билет №8

Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Изоморфизмы векторных пространств.

Структура и типология уроков математики. Требования к современному уроку математики. Система подготовки учителя к уроку.

Традиции и инновации в функционировании воспитательной системы, критерии ее эффективности. Новые технологии воспитания.

Билет №9

Системы линейных уравнений. Различные способы решения системы линейных уравнений.

Основные виды математического мышления и пути их развития. Определение и классификация математических понятий. Формирование понятия системы линейных уравнений с двумя неизвестными в школьном курсе алгебры.

Дидактические условия, формы и методы формирования научного мировоззрения школьников при изучении математики.

Билет №10

Многочлены над полем. Наибольший общий делитель двух многочленов и алгоритм Евклида.

Роль, функции и типология задач в современном обучении математике. Система задач для изучения формул сокращенного умножения многочленов.

Особенности деятельности учителя в условиях сельской малокомплектной школы.

Билет №11

Движения плоскости.

Использование учебного оборудования и печатных средств обучения при изучении центральной и осевой симметрии в школьном курсе геометрии.

Педагогические идеи А.С. Макаренко, В.А. Сухомлинского и проблемы модернизации отечественного образования.

Билет №12

Подобия плоскости.

Понятие как форма математического мышления. Определение и классификация математических понятий. Формирование понятия подобных фигур в школьном курсе планиметрии.

Особенности познавательной деятельности школьников в подросткового возраста при изучении данной темы.

Билет №13

Аффинные преобразования плоскости.

Теорема, структура теоремы, виды теорем и связь между ними. Ознакомление школьников с различными методами доказательства теорем.

Содержание, методы и формы трудового воспитания. Проблемы профессиональной ориентации школьников в новых экономических условиях.

Билет №14

Скалярное и векторное произведения векторов.

Основные этапы решения математической задачи. Обучение школьников эвристической деятельности на каждом из этапов. Решение задач с помощью векторов в школьном курсе геометрии.

Педагогические способности учителя, направленные на повышение эффективности учебного процесса при изучении данной темы.

Билет №15

Прямая на плоскости и в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Научные методы обучения математике. Выбор оптимальной системы методов при изучении взаимного расположении прямых и плоскостей в школьном курсе стереометрии.

Национальная доктрина образования РФ об экологическом воспитании. Система, содержание, формы, методы и средства экологического воспитания школьников.