10. Основное неравенство теории двойственности. Основная теорема двойственности

Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования, которую называют двойственной к данной. Исходная и двойственная к ней задача образуют пару двойственных задач.

В зависимости от вида исходной задачи линейного программирования различают симметричные, несимметричные и смешанные пары двойственных задач.

Рассмотрим стандартную задачу ЛП и двойственную к ней :

Пара двойственных задач (I) и (II) называется парой симметрических двойственных задач.

Не ограничивая общности, теорию двойственности можно рассматривать для пары симметрических задач, поскольку для любой задачи ЛП существует эквивалентная ей стандартная задача ЛП(1) и поэтому теоремы, справедливые для пары симметрических двойственных задач, будут справедливы для пары общих двойственных задач.

Рассмотрим пару симметрических двойственных задач в матричной форме записи

Здесь

А- матрица из m строк и n столбцов,  - транспонированная матрица. Введем обозначения для допустимых областей задачи (I) и (II)

Основное неравенство двойственности

Для любых допустимых решений прямой задачи х и для любых допустимых решений двойственной задачи у выполняется неравенство   

Доказательство.

Из системы ограничений задачи    

Из системы ограничений задачи 

Объединяя полученные неравенства, имеем  

11. Симметричные и несимметричные двойственные пары задач линейного программирования. Вторая теорема двойственности

Симметричные пары двойственных задач

Если система ограничений исходной задачи состоит из неравенств и на все переменные х_j наложено условие неотрицательности, то исходная задача и составленная по определенному правилу двойственная задача образуют симметричную пару двойственных задач.

Пусть исходная задача имеет вид: найти наибольшее значение функции

при ограничениях:

                                                                       

  .

Несимметричная пара двойственных задач

Исходная задача задана в каноническом виде: найти наибольшее значение функции

при ограничениях:

.

Двойственная задача: найти наименьшее значение функции

при ограничениях: ,где y_i 

В несимметричном случае двойственная задача составляется по тем же правилам, что и в случае симметричной пары, но если двойственная переменная поставлена в соответствие ограничению уравнения, то эта переменная свободна по знаку, и обратно, если   то соответствующее ему ограничение двойственной задачи неравенство вида ³ , если задача решается на минимум, и £ , если на максимум.

Вторая теорема двойственности:  Если хотя бы одно оптимальное решение одной из двойственных задач обращает i-е ограничение этой задачи в строгое неравенство, то i-я компонента (т.е. x_i или u_i) каждого оптимального решения второй двойственной задачи равна нулю.  Если же i-я компонента хотя бы одного оптимального решения одной из двойственных задач положительна, то каждое оптимальное решение другой двойственной задачи обращает i-е ограничение в строгое равенство.  Иначе говоря, оптимальные решения   и   пары двойственных задач удовлетворяют условиям                                                   (7.3)                                                        (7.4)