24. Математическая постановка и разрешимость транспортной задачи

Имеется n поставщиков A₁, A₃, ..., A_n, у которых сосредоточены запасы одного и того же груза в количестве n a₁, a₂, ..., a_n единиц, соответственно. Этот груз нужно доставить m потребителям B₁, B₂, ..., B_m, заказавшим m b₁, b₂, ..., b_m единиц этого груза, соответственно. Известны также все тарифы перевозок груза c_ij (стоимость перевозок единицы груза) от поставщика A_i к потребителю B_j. Требуется составить такой план перевозок, при котором общая стоимость всех перевозок была бы минимальной.

Пусть x_ij (x_ij ≥ 0) – количество груза, отправляемого поставщиком A_i потребителю B_j. Тогда суммарные затраты z на перевозки будут вычисляться по формуле z = Σⁿ_i=1 Σ^m_j=1 c_ij x_ij.

План перевозок удовлетворяет ограничениям: Σ^m_j=1 x_ij = a_i , i = 1, ..., n Σⁿ_i=1 x_ij = b_j , j = 1, ..., m

Условие транспортной задачи записывается в виде:

	B1	B2	...	Bm	запасы
A1	x11 c11	x12 c12	...	x1m c1m	a1
A2	x21 c21	x22 c22	...	x2m c2m	a2
...	...	...	...	...	...
An	xn1 cn1	xn2 cn2	...	xnm cnm	an
заказы	b1	b2	...	bm

Обозначим суммарный запас груза у всех поставщиков символом a, а суммарную потребность в грузе у всех потребителей – символом b. Тогда a = Σⁿ_i=1 a_i , b = Σ^m_j=1 b_j. Транспортная задача называется закрытой, если a = b. Если же a ≠ b , то транспортная задача называется открытой.Если задача является открытой, то необходимо провести процедуру закрытия задачи. С этой целью при a < b добавляем фиктивного поставщика A_{n + 1} с запасом груза a_{n + 1} = b - a. Если же a > b , то добавляем фиктивного потребителя B_{m + 1} с заказом груза b_{m + 1} = a - b. В обоих случаях соответствующие фиктивным объектам тарифы перевозок c_ij полагаем равными нулю. В результате суммарная стоимость перевозок z не изменяется.Метод решения транспортной задачи состоит из двух этапов: составление первоначального плана перевозок (методы северо-западного угла, наименьшей стоимости, Фогеля) и перераспределение поставок, пока план не станет оптимальным (метод потенциалов).

Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, т. е. чтобы выполнялось равенство

Модель такой транспортной задачи называется закрытой, или замкнутой, или сбалансированной, в противном случае модель называется открытой.

В случае   вводится фиктивный (n + 1)-й пункт назначения с потребностью   и соответствующие тарифы считаются равными нулю:   аналогично, при   вводится фиктивный (m + 1)-й пункт отправления с запасом груза   и тарифы полагаются равными нулю: .

Этим задача сводится к обычной транспортной задаче. Число  переменных     в  транспортной  задаче  с  m  пунктами  отправления  и  n  пунктами  назначения  равно mn, а число уравнений в системе (12.2) ‑  m + n. Так  как  мы предполагаем выполнение условия (12.3), то число линейно независимых уравнений равно m + n – 1. Следовательно, опорный план может иметь не более m + n – 1 отличных от нуля неизвестных. Если в опорном  плане  число отличных от  нуля  компонент равно в точности m + n – 1, то план называется невырожденным, а если меньше – то вырожденным.