К омпактные множества. Полунепрерывность снизу. Теорема Вейерштрасса.
Функция
полунепрерывна снизу тогда и только
тогда, когда множество
открыто в стандартной топологии
вещественной прямой для любого
Пусть
суть две полунепрерывные снизу (сверху)
функции. Тогда их сумма
также полунепрерывна снизу (сверху).
Предел
монотонно возрастающей (убывающей)
последовательности полунепрерывных
снизу (сверху) в точке
функций есть полунепрерывная функция
снизу (сверху) в
.
Более точно пусть дана последовательность
полуненпрерывных снизу (сверху) функций
таких, что
Тогда если существует предел
то
полунепрерывна
снизу (сверху).
Если
и
есть полунепрерывные функции соответственно
снизу и сверху соответственно, и на всём
пространстве выполнено
то
существует непрерывная функция
, такая что
(Теорема
Вейерштрасса) Пусть дано компактное
подмножество
Тогда полунепрерывная снизу (сверху)
функция
достигает на
своего минимума (максимума).
Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций
Пусть
функция
ограничена и полунепрерывна сверху.
Тогда
и
Пусть функция ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда
И
Построение моделей. Типы моделей
Модель – это некоторый материальный или абстрактный объект, находящийся в определенном объективном соответствии с исследуемым объектом, несущий о нем определенную информацию и способный его замещать на определенных этапах познания.
Этапы построения математических моделей
1. Содержательное описание моделируемого объекта. Словесно описывается объект моделирования, цели его функционирования, среда, в которой он функционирует, выявляются отдельные элементы, возможные состояния, характеристики объекта и его элементов, определяются взаимосвязи между элементами, состояниями, характеристиками.
2. Формализация операций. На основе содержательного описания определяется и анализируется исходное множество характеристик объекта, выделяются наиболее существенные из них. Затем выделяют управляемые и неуправляемые параметры, вводят символьные обозначения. Определяется система ограничений, строится целевая функция модели.
3. Проверка адекватности модели. Исходный вариант модели необходимо проверить по следующим аспектам:
1) все ли существенные параметры включены в модель?
2) нет ли в модели несущественных параметров?
3) правильно ли отражены связи между параметрами?
4) правильно ли определены ограничения на значения параметров?
4. Корректировка модели. На этом этапе уточняются имеющиеся сведения об объекте и все параметры построенной модели. Вносятся изменения в модель, и вновь выполняется оценка адекватности.
5. Оптимизация модели. Сущность оптимизации (улучшения) моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую.
Типы моделей.
Классификация:
По Аспекту моделирования:
- Функциональные; Информационные; Поведенческие;
По соответствию оригиналу:
- Полное; Приближенное;
По форме реализации:
- Реальное; Мысленное;
По наличию управляемых переменных:
- Конструктивное; Дескриптивные;
По изменению во времени:
- Статические; Динамические
По степени определенности;
- Детерминированные; Стохастические;
По способу реализации:
- Наглядное; Математическое; Имитационное; Натурное; Физическое; Аналоговое
В зав-ти от того, какой вид имеет цел-ая ф-ия и ограничения, задающие ОДЗ, выд-ют разл. классы задач мат-го прогр-ия.
Если и цел-ая ф-ия явл. линейной, а все ограничения им. вид линейных равенст или неравенст, то задача наз-ся ЗЛП.
Если хотя бы одна из ф-ий оптимизационной задачи не явл-ся лин-ой, то задача наз-ся ЗНП.
В некоторых случаях переменные, участв. в задаче, могут принимать не любые значения, а только целочисленные, то задача ЗЦелочисленногоП
Если процесс принятия реш-я носит поэтапный хар-р и вектор упр-я на каждом шаге опр-ся знач-ем цел-ой ф-ии на предыдущем шаге, то задача наз-ся задачей динамического прогр-ия.