1.1.2. Метод последовательных приближений

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием .

Метод последовательных приближений состоит в том, что решение , получают как предел последовательности функций , которые находятся по рекурсивной формуле

. (1.4)

Если правая часть в некотором замкнутом прямоугольнике , содержащем множество точек , для которых выполняются условия удовлетворяет условию Липшица по :

,

то независимо от выбора начальной функции последовательные приближения сходятся на некотором отрезке к точному решению задачи Коши.

Если непрерывна в области , то оценка погрешности приближенного решения на отрезке дается неравенством:

, (1.5)

где , а число определяется из условия:

.

Пример 1.1. Найти три последовательных приближения решения уравнения:

с начальным условием Оценить погрешность третьего приближения на отрезке .

Решение. Учитывая начальное условие, заменим уравнение интегральным

.

В качестве начального приближения возьмем . Первое приближение находим по формуле (1.4):

.

Аналогично получаем второе и третье приближения:

,

Оценим погрешность последнего приближения по формуле (1.5). Так как функция , то она определена и непрерывна во всей плоскости и в качестве и можно взять любые числа. Возьмем для определенности . При таких ограничениях получаем:

,

.

Таким образом, на отрезке [0; 0.4] получаем

,

и, следовательно:

.

Замечание: Оценка погрешности по формуле (1.5) часто оказывается завышенной. Практически, применяя метод последовательных приближений, вычисления продолжают до такого при котором значения совпадают в пределах допустимой точности.

Пример 1.2. Дана система

с начальными условиями Методом последовательных приближений найти решение этой системы на отрезке [0; 0,3] с точностью до .

Решение: Записываем систему в интегральной форме:

,

используя начальные значения, из системы находим , . В качестве начальных приближений выберем:

,

При выборе начальных приближений используем первые два члена разложения функций в окрестности точки

Вычислим следующие приближения и :

,

.

Аналогично получаем:

,

.

Оценим разности и на отрезке [0; 0.3]:

,

Эти разности находятся в пределах заданной точности, причем члены, содержащие , малы на отрезке [0; 0,3]. Следовательно, с заданной точностью можно положить

,  .

1.1.3. Метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение с начальным условием .

Выбрав достаточно малый шаг , построим систему равноотстоящих узлов , ( ).

Приближенные значения по методу Эйлера вычисляются последовательно по формулам:

( )

При оценке погрешности обычно используется двойной пересчет.

Если – вычисленное значение с шагом , а – соответствующее узловое значение, полученное с шагом h, то для ориентировочной оценки погрешности последнего значения можно использовать формулу:

Пример 1.3. Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [0,1] таблицу значений решения уравнения:

с начальным условием , выбрав шаг .

Решение дифференциального уравнения приведено в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Приближенное решение уравнения примера 1.3 методом Эйлера

№ шага				Точное решение
0	0	1,0000	0,2000	1,0000
1	0,2	1,2000	0,1733	1,1832
2	0,4	1,3733	0,1561	1,3416
3	0,6	1,5294	0,1492	1,4832
4	0,8	1,6786	0,1451	1,6124
5	1,0	1,8237		1,7320

Рассмотрим пример вычисления  :

.

Для остальных значений вычисления проводятся аналогично.