Построение аналитической модели
Все потоки в системе считаются простейшими. Простейший поток – это поток, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.
Рассматриваемая система массового обслуживания является многоканальной, т. к. содержит в своем составе три устройства.
Заявки (клиенты) поступают в систему в случайные моменты времени, согласно закону распределения Пуассона. Далее заявки поступают на устройство обслуживания (касса), где проводится обслуживание. После чего заявка освобождает систему.
Дисциплина очереди – важный компонент в СМО. Он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход заявки подключаются из очереди к процессу обслуживания. В данной задаче дисциплина очереди относится к типу FIFO (First In First Out).
Из условия задачи видно, что данная СМО относится к виду систем с ожиданием (очередью). В таких системах заявка, поступившая в момент времени, когда все устройства обслуживания заняты, становится в очередь и ждёт, пока не освободится один из каналов.
Произведем анализ
исходных данных и определим состояние
системы в установившемся режиме.
Покупатели подходят к кассам в среднем
10 человек в час, то интенсивность потока
заявок
.
Т.к. обслуживание длится 12 минут, то
пропускная способность канала
.
Стоит отметить, что в установившемся
режиме будут функционировать 3 канала
обслуживания.
Таким образом, в установившемся режиме имеем многоканальную СМО с ожиданием. Число каналов S = 3.
Построим граф состояний системы массового обслуживания:
Имеем следующие состояния системы:
S0 – в системе нет заявок;
S1 – 1 заявка на обработке в первом устройстве, 0 в очереди;
S2 – 1 заявка на обработке в первом устройстве, 1 заявка в очереди;
S3 – 1 заявка на обработке в первом устройстве, 2 заявки в очереди;
S4 – 1 заявка на обработке в первом устройстве, 1 заявка на обработке во втором устройстве, 2 в очереди;
. . .
Запишем систему уравнений, которая связывает интенсивность поступления заявок, пропускную способность системы, состояния системы, а также вероятности, с которыми система пребывает в этих состояниях имеет вид:
;
Для вычисления вероятностей различных состояний системы, выразим последовательно из каждого уравнения из системы вероятности через P0:
Как видно,
начиная с вероятности нахождения в
шестом
состоянии, стала наблюдаться некоторая
закономерность. Обозначив
можно упростить формулы:
;
Обозначив
,
получим следующую формулу для вычисления
вероятности нахождения в каждом
состоянии:
Исходя из формулы
(сумма всех вероятностей равна 1), а также
выведенные раннее формулы для вероятностей
через вероятность нахождения в состоянии,
когда в системе нет заявок, найдем (
):
Вероятность отсутствия требований в системе:
.
Среднее число требований в очереди на обслуживание:
Среднее число требований, находящихся в системе:
.
Среднее время ожидания обслуживания:
.
Среднее число занятых каналов обслуживания:
Коэффициент использования каналов обслуживания:
Коэффициент простоя каналов обслуживания:
