12.7. Приемм математико-картографического моделирования

Формализованное картографическое изображение хорошо при-способлено для математического анализа. Как упоминалось вьіше, каждой точке картьі с координатами х и у поставлено в соответ-ствие лишь одно значение картографируемого параметра і, что позволяет представить изображение данного явления как функ-цию т. = Р(х,у). В других случаях картографическое изображение удобно представить как поле случайньїх величин и воспользовать-ся для его анализа вероятностно-статистическими методами.

В принципе почти все раздельї математики применимьі для обработки и анализа картографического изображения. Проблема лишь в том, чтобьі точно подобрать математическую модель и, главное, дать надежное содержательное истолкование результатам моделирования. Достаточно прочно в картографический анализ вошли некоторьіе раздельї численного анализа, многомерной ста­тистики, теории вероятностей и теории информации.

Аппроксимации. Под аппроксимациями в математике понимают замену (приближение) сложньїх или неизвестньїх функций другими, более простьіми функциями, свойства которьіх известньї. Любую слож-ную поверхность (поле), изображенную на изолинейной карте, можно аппроксимировать, т.е. приближенно представить в виде

£=/(*, У) + є,

где /(х, у) — некая аппроксимирующая функция, є — остаток, не поддающийся аппроксимации. Функцию / (х, у) можно далее раз-ложить в ряд, представив уравнение поверхности в виде

і=А(х,у)+ /₂(х, у) + ... + /_я (х, у) + є,

где /.(х, у) — компонентьі разложения, которьіе предстоит опреде-

лить. В общем случае для зтого с аппроксимируемой картьі снимают ряд значений г., после чего составляют систему уравнений, решае-мьіх совместно по способу наименьших квадратов, т.е. так, чтобьі

Хє,² = І \Р{х_пу) -/(*, у)? = шіп.

Существуют разньїе способи аппроксимации. Зто обьічньїе ал-гебраические многочленьї, ортогональньїе многочленьї Чебьішева и Лежандра, которьіе определенньїм образом упрощают вьічисле-ния, сплайн-функции и др. Не останавливаясь на особенностях математического аппарата, отметим, что во всех случаях задача сводится к тому, чтобьі аппроксимирующее уравнение наилучшим образом описьівало исходную поверхность, а сумма квадратов от-клонений X є.² бьіла бьі минимальна.

На рис. 12.16 показано последовательное улучшение аппрок­симации на примере несложньїх поверхностей. Аппроксимация 1-го порядка (линейное уравнение) дает плоскость, отражающую только общий уклон поверхности, зто очень грубое, слишком общее приближение. Поверхность 2-го порядка уже больше похо-жа на исходную модель, а аппроксимация 3-го порядка (кубичес-кое уравнение) дает достаточно хорошее приближение к исход-ной поверхности.

Тригонометрические функции позволяют описьівать сложньїе, сильно расчлененньїе поверхности, а сферические функции при­меняют, если при вьічислениях нельзя пренебречь кривизной зем­ной поверхности. Аппроксимация с помощью двойньїх рядов Фу-рье, представленная на рис 12.17, иллюстрирует постепенное ус-ложнение поверхности за счет добавлення двухмерньїх синусоид с разньїми фазами и амплитудами. Компьютерное моделирование позволяет вьіполнять подобньїе аппроксимации для поверхностей любой сложности, вьічисляя уравнения вьісокого порядка, содер-жащие порой несколько десятков членов разложения.

В исследовательской практике аппроксимации используют для аналитического описання поверхностей (полей), изображенньїх на картах, и вьіполнения с ними различньїх действий: суммиро-вания, вьічитания, интегрирования и дифференцирования, для подсчета обьемов тел, ограниченньїх зтими поверхностями, и ре-шения множества других задач. Одно из направлений использова­ния аппроксимации — разложение поверхностей на составляю-щие, что позволяет вьіделять и анализировать нормальньїе и ано-мальньїе факторьі развития и пространственного размещения явлений (см. разд. 13.2).

а — блок-диаграмма исходной поверхности; б, в, г — блок-диаграммьі аппрок-симирующих поверхностей соответственно 1, 2 и 3-го порядков.

П риемьі математической статистики. Зта группа приемов мате-матико-картографического моделирования предназначена для изу-чения по картам пространственньїх и временньїх статистических совокупностей и образуемьіх йми статистических поверхностей.

С татистический анализ картографического изображения пре-следует главньїм образом три цели:

• изучение характеристик и функций распределения явления;

• изучение формьі и теснотьі связей между явлениями;

• оценка степени влияния отдельньїх факторов на изучаемое явление и вьіделение ведущих факторов.

В основу всякого статистического иселедования кладетея ви­борна, т.е. некоторое подмножество однородньїх величин а., сня-тьіх с картьі по регулярной сетке точек (систематическая вьібор-ка), в случайно расположенньїх точках (случайная вьіборка), на ключевьіх участках (ключевая вьіборка) или по районам (райони-рованная вьіборка).

Вьіборочньїе данньїе группируют по интервалам, составляют гистограммьі распределения (рис. 12.18) и затем вьічисляют раз-личньїе статистики — количественньїе показатели, характеризу-ющие пространственное распределение изучаемого явления. Наи­более употребительньїе показатели — ереднее арифметическое, ереднее взвешенное арифметическое, ереднее квадратическое, дис­

персия, вариация и др. Кроме того, с помощью специальньїх по­казателей (критериев согласия) можно оценить соответствие дан­ного конкретного распределения тому или иному теоретическому закону распределения. Например, установить, согласуется ли зм-пирическое распределение вьісот рельефа с кривой нормального распределения, как зто видно на рис. 12.18, или подчиняется ка-кой-то иной функции.

Другая типичная исследовательская задача — оценка взаимо-связи между явленнями — решается с помощью хорошо разрабо-танного в математической статистике аппарата теории корреляции. Для зтого необходимо иметь вьіборки по сравниваемьім явленн­ям, показанньїм на картах разной тематики (например, А и В). Значення а. и Ь. берут в одних и тех же /-х точках, т.е. строго скоор-динировано, и затем строят график поля корреляции (рис. 12.19).

Если поле корреляции может бьіть аппроксимировано прямой, которая назьівается линией регрессии, то приступают к вьічисле-нию козффициента парной корреляции г. Его числовьіе значення заключеньї в интервале + 1 > г > — 1. При г равном +1 или — 1 существует функциональная прямая или обратная связь. Если г близок к 0, то связь между явленнями отсутствует, а при г > |0,7| связь считается существенной. Козффициент корреляции рассчи-тьівают по формуле ^{а-М₍){Ь-М,)

пса,.

где а. и Ь. — вьіборочньїе данньїе, полученньїе по картам А и В; п — обьем вьіборки (число пар данньїх); М_аи М_ь — соответствую-щие значения средних, а с_а и о_ь — средних квадратических.

_{5>. 5>}

М =-И И М, =-!=!—

_2Х

— М² и а,

-Мі ■

Оценку точности вьічисления козффициента корреляции г

получают по формуле Щ ~ —, из которой видно, что при

прочих равньїх условиях погрешность вьічисления козффициента корреляции всегда уменьшается с увеличением обьема вьіборки. Отсюда следует, что определение обьема вьіборки — важная про­блема при расчете козффициента корреляции, да и вообще при вьічислении всех статистических показателей. Достаточно предста-вительной обьічно считается вьіборка обьемом 30—50 значений.

В практике иселедования взаимосвязей часто необходимо по-лучить предварительную приближенную оценку козффициента корреляции. В простьіх случаях зто можно еделать, используя пред-ставление о статистических поверхностях. Доказано, что козффи-циент корреляции примерно равен косинусу угла а между направ­леннями наибольших скатов (градиентов) двух сравниваемьіх ста­тистических поверхностей

г ~ со5 а.

Значения заключеньї в интервале соз 0° > г> со$ 180°. Если а = 0°, что свидетельствует о полном совпадении направлений скатов по­верхностей, то г = соз 0° = 1, т.е. между явлениями существует

п рямая связь. При а = 180° скатьі поверхностей направленьї в про-тивоположньїе стороньї, иг = С08 180° = -1, следовательно, связь вьісока, но отрицательна, а при а = 90° связь между явленнями отсутствует, поскольку г = со5 90° = 0. На рис. 12.20 представленьї две статистические поверхности и показаньї направления их наи­больших скатов. Угол между ними оказался равен 36°, тогда г = = соз 36° = +0,81. Такие приближенньїе вьічисления особенно удоб-ньі при сравнении изолинейньїх карт.

Для оценки взаимосвязи явлений в случаях, когда трудно или невозможно получить большие вьіборки, используют другой по-казатель — ранговий козффициент корреляции у, которьій вьічис-ляют по формуле

где р_а. и р_ь. — ранги значений, полученньїх соответственно по кар­там А и В, т.е. их порядковьіе номера в возрастающей последова-тельности (1, 2, 3 и т.д.), а п — обьем вьіборки.

По смьіслу у аналогичен козффициенту парной корреляции /*, он изменяется в интервале от —1 до +1. При зтом не требуется больших обьемов вьіборки, расчетьі можно вьіполнять даже при п = 3. К тому же не нужньї точньїе количественньїе значення а. и Ь_п достаточно знать их ранги. Все зто удобно для работьі с картог-раммами, где используются интервальньїе шкальї, а обьем вьібор­ки ограничен числом административньїх районов.

Аппарат теории корреляции достаточно разнообразен, в нем єсть показатели, удобньїе для анализа взаимосвязей по картам аре­алов (где явлення характеризуются только двумя состояниями: «єсть» и «нет»), по картам качественного фона (где каждое явле-ние имеет много состояний, но не охарактеризовано количествен-но). Существуют козффициентьі для расчета криволинейньїх зави-симостей и связей между тремя явленнями (козффициентьі мно-жественной корреляции) и т.п.

Расчет корреляции дает основу для более сложньїх видов ана­лиза: регрессионного, дисперсионного, факторного и др. Часто при исследованиях ставится задача вьіделить основньїе факторьі, опре-деляющие развитие и размещение того или иного явлення. Зту задачу решает многомерньїй факторний анализ. Он позволяет све-сти к минимуму (к трем-четьірем главньїм факторам) большие совокупности исходньїх показателей, характеризующих сложное явление. Уравнение факторного анализа имеет вид

п

а_р =Х/„_Г/_Г +е_р ^

где а — исходньїе показатели;^ — вьіделенньїе главньїе факторьі, дающие синтетическую оценку изучаемого явлення; / — «вес» каждого фактора в зтой синтетической оценке («факторная на-грузка»); е_р — остаток, характеризующий неучтенньїе отклонения.

Приеми теории информации. Зти приемьі используют для оцен-ки степени однородности и взаимного соответствия явлений, изу-чаемьіх по картам.

Речь идет об основной функции теории информации — знтро-пии. В термодинамике знтропия характеризует степень беспорядка в физической системе, в теории связи — степень неопределенности

передаваемьіх сообщений, а в картографическом анализе зта функ-ция оказалась довольно удобной для оценки степени однородности/ неоднородности (разнообразия) картографического изображения.

Знтропией Е (А) некоторой системьі А назьівается сумма про-изведений вероятностей со. различньїх состояний зтой системи на логарифмьі вероятностей, взятая с обратньш знаком

п

£'(л) = £:Ц,а)₂,...,со_л)=-Есо_/ іо£₂®і.

В теории информации принято брать логарифмьі вероятностей при оснований 2, что связано с двоичной системой счисления. Смьісл функции не изменится, если пользоваться десятичньїми или натуральними логарифмами. Функция Е(А) остается неотри-цательной, она обращается в нуль, когда на карте изображен только один контур или вьідел (т.е. изображение совершенно однородно), и монотонно возрастает с увеличением числа контуров п. Зто свой-ство функции знтропии позволяет количественно характеризовать неоднородность картографического изображения (рис. 12.21), по-нимаемую как разнообразие контуров и неравномерность их рас-пространения по площади (различие величин со.).

Кроме того, информационньїе функции используют для оценки степени взаимного соответствия (совпадения) контуров на разньїх картах. В зтом случае они вьіполняют роль своеобразньїх показателей взаимосвязи явлений наподобие козффициентов корреляции.

а