3.2. Масштаби карт

Масштаб картьі — степень уменьшения об"ьектов на карте отно-сительно их размеров на земной поверхности (точнее, на по­верхности зллипсоида).

Строго говоря, масштаб постоянен только на планах, охватьі-вающих небольшие участки территории. На географических картах он меняется от места к месту и даже в одной точке — по разньїм направленням, что связано с переходом от сферической поверх­ности планетьі к плоскому изображению. Позтому различают глав-ньій и частньїй масштаби карт. Главньїй масштаб показьівает, во сколько раз линейньїе размерьі на карте уменьшеньї по отноше-нию к зллипсоиду или шару. Зтот масштаб подписьівают на карте, но необходимо иметь в виду, что он справедлив лишь для отдель-ньіх линий и точек, где искажения отсутствуют. Частньїй мас­штаб отражает соотношения размеров обьектов на карте и зллип-соиде (шаре) в данной точке. Он может бьіть больше или меньше главного. Частньїй масштаб длин \х показьівает отношение длиньї бесконечно малого отрезка на карте Ж' к длине бесконечно малого отрезка (Із на поверхности зллипсоида или шара, а частньїй мас­штаб площадей р передает аналогичньїе соотношения бесконечно малих площадей на карте сір и зллипсоиде или шаре сір:

сіз' а\р'

(і = и р =

СІ5 сір

В общем случае чем мельче масштаб картографического изоб­ражения и чем обширнее территория, тем сильнее сказьіваются различия между главньїм и частньїм масштабами.

В России для топографических и обзорно-топографических карт установлена система масштабов (табл. 3.2).

Масштаби общегеографических карт

Численний масштаб			Название карти
1	5 000	Пятитьісячная
1	10 000	Десятитьісячная
1	25 000	Двадцатипятитьісячная
1	50 000	Пятидесятитьісячная
1	100 000	Стотисячная
1	200 000	Двухсоттьісячная
1	300 000	Трехсоттьісяч ная
1	500 000	Пятисоттьісячная
1	1 000 000	Миллионная

Таблица 3.2

Тематические картьі составляются в зтих и других масштабах. Так, картьі городов часто имеют масштаб 1:40 000, а картьі обла­стей — 1:600 000. Обзорньїе географические картьі могут состав-ляться в любьіх масштабах мельче миллионного: 1:1 500 000, 1:2 500 000, 1:10 000 000 и т.д. Подобньїе системи с некоторнми вариантами приняти и в других странах, например широко ис-пользуются масштаби 1:20 000, 1:80 000 и 1:250 000 и др.

Старне русские карти составлялись в неметрических масшта­бах, и на них использовались старие мери длини — верста (1,067 км), сажень (2,134 м), дюйм (2,54 см). Многие старие карти, сохранившиеся до наших дней, ценни как научньїе документи, точно отражающие состояние окружающей среди, какой она била 100 и более лет тому назад. Но чтобн сопоставлять зти карти с современннми, приходится пользоваться неметрическими мас­штабами. Некоторьіе из старих масштабов приведенн в табл. 3.3.

На морских навигационних и некоторнх английских и амери-канских картах можно и по сей день встретить английскую систе­му мер: одна английская миля равна 1,609 км, она содержит в себе 5280 футов, или 63 360 дюймов. В современном обиходе иног-да еще используют такие мери — вспомним хотя би морскую

Таблица 3.3

Масштаби старьіх русских карт

Численний			/ дюйму на карте
масштаб		Название карти	соответствует
			на местности
1	21 000	Полуверстка	Уг ВерСТЬІ
1	42 000	Одноверстка	1 верста
1	84 000	Двухверстка	2 верстві
1	126 000	Трехверстка	3 «
1	210 000	Пятиверстка	5 верст
1	420 000	Десятиверстка	10 «
1	1 050 000	Двадцатипятиверстка	25 «
1	1 680 000	Сорокаверстка	40 «
1	4 200 000	Стоверстка	100 «

«десятимильную зону», признанную зоной особьіх зкономичес-ких интересов каждого государства. В Великобритании до сих пор параллельно издаются картьі в традиционньїх английских мерах (табл. 3.4) и новьіх метрических.

Таблица 3.4

Масштаби британских карт

Численний масштаб	Название карти	1 дюйму на карте соответствует на местности	1 миле на местнос­ти соответствует на карте
1:10 560	Шестидюймовая	!/6 мили	6 дюймов
1:63 360	Однодюймовая	1 миля	1 дюйм
1:126 720	Полудюймовая	2 мили	Уг дюйма
1:253 440	Четвертьдюймовая	4 «	Уа «
1:633 600	Десятимильная	10 миль	Ую «

Масштаб указьівается на картах в разньїх вариантах (рис. 3.2). Численний масштаб представляет собой дробь с единицей в чис-лителе, он показьівает, во сколько раз длиньї на карте меньше соответствующих длин на местности (например, 1:1 000 000). Ли-

О 1 2 3 4 5 км

і і і —і Линеиньїи масштаб

1:1 ОО 000 Численньїй масштаб

В І см 1 км Именованньїй масштаб

Рис. 3.2. Видьі масштабов па картах.

нейньш (графический) масштаб дается на полях картьі в виде ли-нейки, разделенной на равньїе части (обьічно сантиметрьі), с подписями, означающими соответствующие расстояния на мест­ности. Он удобен для измерений по карте. Именованньїй масштаб указьівает в виде подписи, какое расстояние на местности соот-ветствует одному сантиметру на карте (например, в 1 см 1 км).

3-3. Картографические проекции

Картографическая проекция — зто математически определен-ное отображение поверхности зллипсоида или шара (глобуса) на плоскость картьі.

Проекция устанавливает однозначное соответствие между гео-дезическими координатами точек (широтой В и долготой Ь) и их прямоугольньїми координатами (Хи У) на карте. Уравнения про­екции в общей форме вьіглядят предельно просто

Х=/,(В,[.);Г=/₂(В,Ь).

Конкретньїе реализации функций /_у и /₂ часто вьіраженьї до-вольно сложньїми математическими зависимостями, их число бес­конечно, а следовательно, разнообразие картографических проек­ции практически неограниченно.

Теория картографических проекции составляет главное содер­жание математической картографии. В зтом разделе разрабатьівают методьі изьіскания новьіх проекции для разньїх территории и раз­ньїх задач, создают приемьі и алгоритми анализа проекции, оцен-ки распределения и величин искажений. Особьій круг задач связан с учетом зтих искажений при измерениях по картам, переходом из одной проекции в другую и т. п. Компьютерньїе технологий позво-ляют рассчитьівать проекции с заданньїми свойствами.

И сходная аксиома при изьіскании любьіх картографических про-екций состоит в том, что сферическую поверхность земного шара (зллипсоида, глобуса) нельзя развернуть на плоскости картьі без искажений.

Неизбежно возникают деформации — сжатия и растяжения, раз-личньїе по величине и направленню. Именно позтому на карте воз-никает непостоянство масштабов длин и площадей (см. разд. 3.2).

Иногда искажения картографических проекций очень замет-ньі, например очертания материков вьіглядят непривьічно вьітя-нутьіми или сплющенньїми, а другие части изображения стано-вятся раздутьіми. Есть картьі, на которьіх Гренландия больше Южной Америки, хотя, в действительности, она меньше ее в восемь с лишним раз, а Антарктида иногда вообще занимает весь юг картьі. Искажаются не только размерьі, но и формьі обьектов. На рис. 3.3 дан контур России в трех разньїх проекциях, и видно, что в одном случае очертания Чукотки как бьі «задраньї» кверху, в другом — находятся на уровне полуострова Таймьір, а в третьем — опущеньї книзу. На самом же деле, именно на Таймьіре находится северная оконечность России — мьіс Челюскин.

В картографических проекциях могут присутствовать следую-щие видьі искажений:

• искажения длин — вследствие зтого масштаб картьі непосто-янен в разньїх точках и по разньїм направленням, а длиньї линий и расстояния искаженьї;

• искажения площадей — масштаб площадей в разньїх точках картьі различен, что является прямьім следствием искаже­ний длин и нарушает размерьі обьектов;

• искажения углов — угльї между направленнями на карте ис­каженьї относительно тех же углов на местности;

• искажения форм — фигурьі на карте деформированьї и не подобньї фигурам на местности, что прямо связано с иска-жениями углов.

а— направление наибольшего растяжения масштаба; Ь— направление наи­большего сжатия масштаба; т — масштаб по меридиану; п — масштаб по параллели.

Л юбая бесконечно малая окружность на шаре (зллипсоиде) предстает на карте бесконечно мальїм зллипсом — его назьівают зллипсом искажений. Для наглядности вместо бесконечно малого зллипса обьічно рассматривают зллипс конечньїх размеров (рис. 3.4). Его размерьі и форма отражают искажения длин, площадей и уг­лов, а ориентировка большой оси относительно меридиана и па-раллели — направление наибольшего растяжения. Большая ось зл­липса искажений характеризует наибольшее растяжение в данной точке, а малая ось — наибольшее сжатие, отрезки вдоль меридиа­на и параллели соответственно характеризуют частньїе масштаби по меридиану т и параллели п.

Определив значення т и п, а также измерив угол 6, под кото-рьім пересекаются на карте меридиан и параллель, можно затем рассчитать значення наибольшего а и наименьшего Ь частньїх мас­штабов длин, частньїй масштаб площадей р в данной точке, а также значение искажения углов ш по формулам:

р = т п зіп 0 ;

а + Ь = д/иг +п² + 2р ; а-Ь — у]т² + и² -2р ;

. со а-Ь

зіп— = .

2 а + Ь

Если главньїе оси зллипса ориентированьї по меридиану и па-раллели, то

а = т и Ь = п либо а — п и Ь = /я,

.ш я -£> /? = тл, 8іп— = ——-.

2 я -1-й

Значення т, п, а, Ь и р измеряют в процентах или в долях от главного масштаба. Например, если а = 1,12, то зто означает, что частньїй масштаб по направленню большой оси зллипса искаже­ний составляет 1,12 (или 112%) от главного масштаба. Иногда в качестве показателей искажений используют их отклонения от еди-ницьі: /я — 1, л — 1, а - І, Ь - І ир — І— зти показатели назьіва-ют относительньїми искажениями. Если, например, а — 1 =0,12, то зто значит, что частньїй масштаб вдоль большой оси зллипса искажений преувеличен относительно главного масштаба на 0,12 (или на 12%). Частньїй масштаб может оказаться и меньше глав­ного, например Ь =0,85 (85%), т.е. масштаб преуменьшен на 0,15 (на 15%).

В ряде проекций существуют линии и точки, где искажения отсутствуют и сохраняется главньїй масштаб картьі — зто линии и точки нулевмх искажений. Для наиболее употребительньїх проек­ций существуют специальньїе вспомогательньїе картьі, на которьіх показаньї зти линии и точки, а кроме того проведеньї изокольї — линии равньїх искажений длин, площадей, углов или форм. При определении размеров искажений в заданной точке можно вос-пользоваться картами изокол либо провести несложньїе измере­ния, а затем — вьічисления по приведенньїм вьіше формулам.