1. Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Определение1: А называется пределом в т.х0, если для любой послед-ти {хn}(хn не= х0), сходящейся к х0 соответствуящая послед. ф-ий сх-ся к А.

Определение2: Число A называется пределом функции в точке х0, если для любого положительного числа найдется положительное число () такое, что для всех x из выколотой δ-окрестности точки х0 выполняется неравенство .

 > 0 ()>0: x: 0<|x- х0|<  |f(x)-A|< 

Опред 1 и 2 эквивалентны.

Док-во:

1)Пусть по 1, покажем, что А предел согласно 2.

Предположим обратное, т.е. 2 не выполняется  > 0 >0: 0<|x- х0|<  |f(x)-A|>= 

В качестве  будем брать последовательно числа 1, 1/2, 1/3 и т.д.

х1 не= x0 |x1- х0|<1  |f(x)-A|>= и т.д.

nхn не= x0 |xn- х0|<1/n  |f(x)-A|>=  и т.д.

{хn} сходится к х0, для которой {f(х)} не сх-ся к А.

2) Пусть по 2, покажем, что А предел согласно 1.

Возьмем {хn} сходящееся к х0(хn не= х0), тогда для указанного значения соответствующего  будет N n>N |xn- х0|< но вместе с тем |f(x)-A|<  .Т.е. выполняется условие опр 1.

Свойства пределов функции:

Пусть и .

1.

2.

3. Если , то

4. Если в окрестности точки а , то

5. Если в некоторой окрестности точки а, то A=B

6. Если в окрестности точки а, то А=С

7. Если , , тогда

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если .

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если для любой послед-ти {хn}, сходящейся к a соответствуящая послед. ф-ий f(xn) сх-ся к f(a).

Определение: (непрерывность функции по Коши). Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если  ε > 0   (ε)>0:  x из не выколотой окрестности |x-a|< , выполнено неравенство |f(x)-f(a)|< ε

Определение: (непрерывность "на языке приращений"). Функция называется непрерывной в точке a, если б.м. приращению аргумента в т. а соответствует б.м. приращение ф-ии lim_{ x 0} y = 0, где  y = f = f(a+ x)-f(a),x = x-a

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1 (1ая теор. Больцмана-Коши). Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Эта теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 2 (2ая теор. Больцмана-Коши). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка с [a, b], что f(c) = C.

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C –  число, между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:

Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

Теорема 3 (1ая теор. Вейерштрассе). Если функция f(x) определена и непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 4 (2ая теор. Вейерштрассе). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то

на этом отрезке она достигает своих точных граней, т.е. х1, х2 [a, b]: f(x1)= f(x), f(x2)= f(x)

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x2 [a, b] такая, что значение функции f(x2) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(х2) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x1, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x1) ≤ f(x).

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Рассмотрим функции нескольких переменных.

Определение1: Число b называется предельным значением функции f(M) в точке А, если для любой сходящейся к А последовательности M1,…,Mn точек множества М последовательность f(M1),...,f(Mn) сходится к b

Определение2: Число b называется пределом функции f(M) при стремлении М к точке A, если для каждого числа  > 0 найдется ()>0, для которых верно условие _{, выполняется неравенство} .

Записывают: , т.е.

Определение1: Опр. U=f(М) непрерывна в т. А, если существует lim f(M) = f(А), при М стремящейся к А.

Определение2:Функция U=f(M) называется непрерывной в т.А, если для любого >0, существует , при (M,A) <  выполняется |f(M)-f(A)|<

Определение3: Ф-я f наз-ся непрер-ой на мн-ве если она непрерывна в каждой т. этого мн-ва.

Определение4:Функция U=f(x1,...,xm) называется непрерывной в т. (x1...xm) по переменной xk если частное приращение U=f(x1,..,xk+ ,..,xm)- f(x1,..,xm) в т.(x1,...,xm) является бесконечно малой величиной от , т.е. если lim U =0, 0