2.2. Свойства трансформанты Лапласа:

- подобия ; (4)

-линейности (5)

-смещения (6)

-дифференцирования изображения (7)

-дифференцирования оригинала (8)

-интегрирования оригинала (9)

-интегрирование изображения (10)

2.3. Таблица основных оригиналов и трансформант по Лапласу

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

2.4.Приложение операционного исчисления к решению задачи Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с «естественными» начальными условиями

(19)

Преобразуя по Лапласу левую и правую части уравнения, используя при этом правила определения изображений производных и с учетом «естественных (нулевых)» начальных значений , получаем алгебраическое вспомогательное (или изображающее операторное) уравнение вида

(20)

откуда для изображения искомой функции имеем выражение

(21)

по которому определяется обратным преобразованием по Лапласу (формула Мелина) искомый оригинал

(22)

ПРИМЕРЫ.

Задание № 5. Найти изображение по Лапласу функции действительного переменного. Использовать формулы тансформант по Лапласу.

Используем при этом представление квадрата косинуса через косинус двойного угла и формулы трансформант по Лапласу для экспоненты (смещение) и для косинуса.

Задание № 6. Найти оригинал функции действительного переменного по ее изображению Лапласа . Представляя подынтегральную функцию в виде суммы простых дробей и используя таблицу трансформант (изображений) по Лапласу и оригиналов имеем

Задание № 7. С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Используя формулы для трансформант по Лапласу для производных третьего и первого порядков (левой части уравнения) и для косинуса (правой части уравнения)

с учетом начальных условий получаем алгебраическое уравнение трансформанты искомой функции

а используя таблицы изображений имеем

Задание № 1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Используя лагранжево выражение для общего и частного решений дифференциального уравнения и эйлерово представление (экспоненциальное) общего решения, получаем характеристическое уравнение для характеристических показателей и соответственно решения этого уравнения через комплексные числа

а по ним общее решение

содержащее все четыре фундаментальных решения.

Литература.

1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н.. Теория функций комплексной переменной. -М.: Наука, 1967 . -304 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М.. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1989. –464 с.

3. Мантуров О.В.. Курс высшей математики. Ряды. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной переменной. Численные методы. Теория вероятностей. –М.: Высш. шк., 1991. –448 с.

4.Овчинников П.Ф., Лисицын Б.М., Михайленко В.М.. Высшая математика. –К.: Выща шк., 1989. –679 с.

5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П.. Краткий курс высшей математики. –М.: Наука, 1986. – 576 с.

5. Диткин В.А., Прудников А.П.. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз. 1961.-376 с.

6. Пискунов Н.С.. Дифференциальное исчисление для втузов.т.1 и 2. –М.: Наука, 1985. –432с., -556 с.

7. Корнейчук Л.Г.. Методические указания к решению задач по операционному исчислению. –М.: МАМИ .2001. –32 с.

8. Коган Е.А., Попович В.Е., Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Операционное исчисление. (Методическое пособие). М.: МАМИ. 2001. 105 с.

ПРОГРАММА

раздела «Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления»

курса «СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»

(4-ый семестр, 2-ой курс, поток АЭ 8-13).

Лекция 1. Основные понятия. Комплексные числа (КЧ) и действия с ними. Функции комплексной переменной (ФКП) и их производные. Интегрирование ФКП. Степенной ряд Лорана. Вычеты.

Понятие КЧ, действия с ними, свойства КЧ; мнимая единица, действительная и мнимая части КЧ, сопряженные КЧ, алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы КЧ, геометрическая (векторная) интерпретация КЧ, равенство КЧ, сумма и разность КЧ, произведение и частное КЧ, возведение в степень КЧ и извлечение корня из КЧ.

Последовательности КЧ (ПКЧ) и пределы (ПрПКЧ); условия сходимости ПКЧ, ограниченная ПКЧ, критерий Коши, бесконечно удаленная точка.

Функции комплексной переменной; область КЧ, граница области КЧ, внутренняя и внешняя точки, окрестность. Однозначные и многозначные ФКП, обратное соответствие, однолистные и многолистные ФКП, непрерывные ФКП. Дифференцирование ФКП; производная ФКП, условия Коши – Римана (Эйлера - Даламбера), аналитические ФКП (АФКП) и свойства их суммы, произведения и частного, сложная АФКП - АФКП, производная АФКП – АФКП, дифференциал мнимой части АФКП по действительной ее части, линии уровня и ортогональность линий уровня мнимой и действительной частей, геометрический смысл производной, конформность отображения (сохранение углов оригинала пересечения двух кривых и их образов). Элементарные ФКП.

Интегрирование ФКП; криволинейный интеграл второго рода, направление обхода, интеграл по параметру, интеграл по замкнутому контуру от АФКП, интеграл Коши, неопределенный интеграл от АФКП, первобразная, производная от АФКП.

Степенной ряд Тейлора и ряд Лорана (РЛ), правильная и главная части РЛ, изолированные особые (ОТ) точки (правильные, устранимые, полюса, существенно особые). Вычеты (в устранимой ОТ, в ОТ – полюсе, в ОТ – нуле знаменателя частного ФКП), теорема о вычетах.

Лекция 2. Операционное исчисление (ОП).

Основные понятия и определения, интегральное изображение ФКП (ИФКП) - несобственный интеграл по параметру от кусочно – непрерывной ФКП – оригинала (ОФКП), трансформанта Лапласа (ТЛ), обратное отображение – преобразование Меллина (ПМ), свойства ТЛ (подобия, линейности, смещения, дифференцирования оригинала и изображения, интегрирования оригинала и изображения), таблица ТЛ элементарных ФКП.

Приложение ОП к решению задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами и неоднородной правой частью, естественные начальные условия, изображающее (операторное) уравнение, изображение, оригинал, преобразование Меллина

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ.

1. Понятие комплексного числа и ему сопряженного (действительная и мнимая

части; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы;

геометрическая (векторная) интерпретация) и действия с ними (равенство, сумма

и разность, произведение и частное, возведение в степень и извлечение корня).

3. Последовательности комплексных чисел и пределы; ограниченные и

неограниченные последовательности; условия сходимости (критерий Коши),

бесконечно удаленная точка.

4. Функции комплексной переменной; область, граница области, внутренняя и внешняя точки, окрестность; непрерывность, однозначность и многозначность, обратное соответствие, однолистность и многолистность.

5. Дифференцирование функций комплексной переменной; производная, условия Коши – Римана (Эйлера - Даламбера).

6. Аналитические и их свойства (суммы, произведения и частного); сложная производная, дифференциал мнимой части по действительной ее части, линии уровня и ортогональность линий уровня мнимой и действительной частей, геометрический смысл производной, конформность отображения (сохранение углов оригинала пересечения двух кривых и их образов).

7. Элементарные функции комплексной переменной.

8. Интегрирование функции комплексной переменной; криволинейный интеграл второго рода, интеграл по параметру, интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции, интеграл Коши, неопределенный интеграл, первобразная, производная.

9. Степенной ряд Тейлора и ряд Лорана, правильная и главная части ряда, изолированные особые точки (правильные, устранимые, полюса, существенно особые).

10. Вычеты (в устранимой особой точке, в полюсе, в нуле знаменателя частного ФКП). Теорема о вычетах.

11. Основные понятия и определения, интегральное изображение функции комплексной переменной - несобственный интеграл по параметру; оригинал и изображение - трансформанта Лапласа, обратное отображение – преобразование Меллина.

12. Свойства трансформанты Лапласа (подобие, линейность,смещение).

13. Дифференцирование оригинала и изображение, интегрирование оригинала и изображения.

14. Таблица трансформант Лапласа элементарных функций комплексной переменной.

15. Приложение операционного исчисления к решению задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами и неоднородной правой частью.

16. Изображающее (операторное) уравнение, изображение, оригинал, преобразование Меллина.

35