7.3. Особые изолированные точки.
Точки, в которых значения функции совпадает с значением правильной части ряда Лорана, называются правильными
(46)
Точки, в которых
функция не определена и ряд Лорана
содержит и главную часть, называются
особыми.
Точки, в которых ряд Лорана содержит
конечное число
слагаемых
главной части, называются полюсами
порядка (кратности )
.
Точки, в которых ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых главной части, называются существенно особыми.
Вычеты. Вычетом функции в точке
называется интеграл
Выч
(47)
8.1. Вычет в устранимой особой точке
Выч
(48)
8.2. Вычет в особой точке
Выч
(49)
8.3. Вычет в особой точке-полюсе любого порядка
Выч
(50)
8.4. Вычет в особой
точке-нуле знаменателя частного
Выч
(51)
8.5. Теорема о вычетах (о вычете функции, имеющей конечное число особых точек): вычет функции, имеющей конечное число особых точек, равен сумме всех вычетов с обратным знаком
Выч
-
Выч
(52)
ПРИМЕР.
Задание № 4.
Вычислить интеграл от функции
комплексного переменного по замкнутому
контуру
с помощью вычетов:
Используя формулу для вычисления вычета от частного, когда знаменатель обращается на контуре в нуль, согласно чему вычет равен отношению числителя к производной знаменателя на контуре, т.е.
Выч
Выч
Выч
Лекция 2. Операционное исчисление.
2.Основные понятия
и определения. Несобственный интеграл
от
кусочно-непрерывной, имеющей конечное
число точек разрыва первого рода,
функции-оригинала
(начальной
функции) действительного переменного
с подынтегральным экспоненциальным
ядром, содержащим комплексный параметр
(1)
единственным образом преобразует по заданному закону в функцию комплексного параметра .
2.1.Изображение (трансформанта) Лапласа (Лаплас- P.S.Laplace-1807).Обратное преобразование по Лапласу - преобразование Меллина (Меллин – Mellin R.Hj.-1910).
Трансформанта по Лапласу ставит во взаимнооднозначное соответствие оригиналу ее изображение или преобразование
;
(2)
а преобразование Меллина ставит во взаимнооднозначное соответствие изображению его оригинал
(3)