Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский государственный машиностроительный университет «МАМИ»

Кафедра «Высшая Математика»

Расчетно –графическая работа по разделу

«Элементы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления».

Вариант №

Факультет

Группа

Студент (Ф.И.О.)

Лектор (Ф.И.О. должн.)

Преподаватель (Ф.И.О. должн.)

Москва 2012 год

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К выполнению РГР по разделу «ТФКР и ОИ».

Задача № 1. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной форме и показать его положение на комплексной плоскости с указанием модуля и аргумента.

Порядок выполнения:

1). Записать КЧ в тригонометрической форме, используя для вычислений формулы для модуля КЧ и аргумента КЧ через составляющие алгебраической (исходной) формы: действительная и - мнимая части КП

(1.1)

2). Записать КЧ в показательной форме, используя для вычислений формулы для модуля КЧ и аргумента КЧ , выраженные через составляющие алгебраической (исходной) формы: действительная и - мнимая части КП

(1.2)

3). Построив координатные оси декартовой системы и указав масштабы по осям, откладываются соответственно значения: по оси - действительная часть КЧ, по оси - мнимую часть КЧ. Соединив точку с координатами с началом координат , получим направленный от точки к точке отрезок - вектора КЧ, длина которого есть модуль КЧ, а угол , составленный вектором положительным направлением оси , – аргумент КЧ.

Пример:

Задача № 2. Выполнить указанные действия с двумя комплексными числами и : сумма , разность , произведение , частное , возведение в степень и извлечение корня , где - целые числа.

Порядок выполнения:

1). Вычисления суммы двух КЧ производится, используя алгебраическую форму КЧ, по формуле, где складываются соответственно действительные (real) и мнимые (impedans) части обоих КЧ, образуя действительную и мнимую части суммы , представленную в алгебраической форме

(2.1)

и в тригонометрической и показательной формах

2). Вычисления разности двух КЧ производится, используя алгебраическую форму КЧ, по формуле, где определяются разности соответственно действительных (real) и мнимых (impedans) частей обоих КЧ, образуя действительную и мнимую части разности, представленную в алгебраической форме

(2.2)

и в тригонометрической и показательной формах

3). Вычисления произведения двух КЧ производится, используя алгебраическую форму КЧ, по формуле, где действительная и мнимая части произведения представлены в алгебраической форме

(2.3)

и показательной

(2.4)

4). Вычисления частного двух КЧ производится, используя алгебраическую форму КЧ, в частности, делителя и ему сопряженного КЧ , и формулу произведения КЧ и ему сопряженного КЧ ; частное определяется по формуле, где действительная и мнимая части произведения представлены в алгебраической форме

(2.5)

и в показательной

(2.6)

5). Вычисления степени КЧ производится, используя показательную форму КЧ и формулу Муавра – Котеса возведения КЧ в степень

(2.7)

6). Вычисления корня из КЧ производится, используя показательную форму КЧ и формулу Муавра – Котеса возведения КЧ в произвольную степень

(2.8)

Замечание 1: при вычислении корней первые корней соответствуют значениям аргумента КЧ

(2.9)

Пример:

:

Задача № 3. Вычислить значение функции комплексной переменной (ФКП) в точке при и показать числа и на комплексных плоскостях и .

Порядок выполнения:

1). Записать искомую функцию и ее составляющие в показательной форме

(3.1)

и произвести соответствующие действия (умножение, возведение в степень, сложение и приведение подобных), используя ( ) комплексно – сопряженное КЧ

2). Произвести вычисления искомой функции при заданном значении аргумента

(3.2)

3). Показать на плоскости точку и на плоскости точку

Замечание 1: Функции КП - простые элементарные степенные, сумммы (разности) их и произведения (степени) или сложные, в частности:

Эти элементарные функции (экспоненциальные, тригонометрические круговые и гиперболические) представимы в показательной форме.

Пример:

Задача № 4. Построить отображение области D на плоскости на плоскость с помощью функции комплексной переменной .

Порядок выполнения:

1). Обозначить точки сопряжения участков контура, ограничивающего область D, обходя его по часовой стрелке (область всегда остается слева при обходе контура) и записать аналитические выражения кривых участков контура;

(4.1)

2). Записать выражения функции КП на соответствующих участках отображения контура области на плоскости

(4.2)

3). Построить на плоскости изображение области D на плоскости по значениям выражений соответствующих участков контура :

(4.3)

Замечание 1: функции КП – простые (дробно – линейная, экспонента, степенная), в частности

Замечание 2: функции КП дают конформное отображение (углы между двумя кривыми на плоскости равны углам между их образами на плоскости ).

Замечание 3: дробно – линейная функция КП обладает круговым свойством – переводит окружности плоскости в окружности плоскости .

Замечание 4: участки контура простые: координатные линии , проходящие через точки ; прямые , проходящие через точки ; окружности радиуса с центром .

Замечание 5: свойство конформности (равенство соответствующих углов между двумя пересекающимися кривыми оригинала и изображения) проявляется в точке пересечения изображений (четвертей окружностей), соответствующей прямому углу в точке .

Пример:

Область D ограничена координатными линиями и и дугой окружности .

Для дробно – линейной функции КП и области D, ограниченной координатными линиями и и дугой окружности

здесь проведены преобразования подобные ниже преведенным

Для дробно – линейной функции КП и области D, ограниченной координатными линиями и и дугой окружности

Задача № 5. Вычислить предел частного от деления двух ФКП , при том, что предельные значения этих функций нулевые

Порядок выполнения:

1). Определить тип неопределенности частного, вычислив значения делимого и делителя в предельной точке .

2). Определить предельный порядок производных числителя и знаменателя , отношение которых соответствует данному типу неопределенности.

3). Определить отношение производных -го порядка, следующего за предельным -ым порядком

(5.1)

Замечание 1: предел частного от деления двух ФКП при условии, что в предельной точке и числитель и знаменатель обращаются в нуль (или бесконечность), т.е. представляет собой неопределенность типа , по правилу Лопиталя равен пределу отношения соответствующих производных (числителя и знаменателя)

(5.2)

При повторении характера неопределенности значения отношения производных, операция применения правила Лопиталя повторяется до тех пор когда достигнется определенность соответствующего отношения

(5.3)

Пример:

Задача № 6. Найти все нули и особые точки функции комплексной переменной и указать их тип, если ФКП представляется частным двух функций - дробно – рациональная ФКП или представима рядом Лорана в окрестности точки .

Порядок выполнения:

1). Определить нули числителя и знаменателя ФКП

(6.1)

2). Определить нули заданной ФКП ; для этого из множества нулей числителя вычитаются совместные с множеством нулей знаменателя элементы, в результате остается подмножество нулей ФКП

(6.2)

3). Определить особые точки заданной ФКП ; для этого из множества нулей знаменателя вычитаются совместные с множеством нулей числителя элементы, в результате остается подмножество особых точек ФКП – множество полюсов ФКП

(6.3)

4). Определить порядок (или кратность) полюсов определяется кратностью элементов . При представлении ФКП в окрестности точек рядом Лорана коэффициенты при соответствующих степенях не нулевые.

Замечание 1: число нулей ФКП и число ее полюсов в области , ограниченной замкнутым контуром , определяется соотношением

Замечание 2: нули ФКП – множество значений КП , при которых функция обращается в ноль; при этом и действительная и мнимая части обращаются в ноль одновременно

Пример:

Корни простые: - нуль ФКП; и - полюса простые (первого порядка).

Задача № 7. Проверить функцию комплексной переменной на аналитичность и найти ее производную.

Порядок выполнения:

1). Представить заданную ФКП в алгебраической форме, используя представления в показательной и тригонометрической формах

2). Вычислить частные производные действительной и мнимой частей и сравнить по соотношениям Коши – Римана.

Замечание 1: ФКП называется аналитической во всех точках области , если она дифференцируема в этой области , а ее производная непрерывна в этой области.

Замечание 2: необходимым и достаточным условием аналитичности ФКП в области является существование в этой области частных производных функций и связанных соотношениями Коши – Римана

(7.1)

Замечание 3: при вычислениях использовать представления элементарных функций в показательной форме

а также формулу Муавра для экспоненты в тригонометрической форме

Пример:

После преобразований представляется заданная ФКП так

после чего частные производные есть

из которых следует, что заданная ФКП аналитическая.

Задача № 8. Вычислить определенный интеграл функции комплексной переменной

Порядок выполнения:

1). Определить первообразную подынтегральной функции, используя табличные производные и интегралы элементарных функций

(8.1)

2). Подставить пределы интегрирования и произвести вычисления

(8.2)

Замечание 1: использовать таблицу производных и интегралов элементарных функций

Замечание 2: при вычислениях использовать значения тригонометрических функций мнимого аргумента

Пример:

Задача № 9. Вычислить контурный интеграл функции комплексного переменного по замкнутому контуру , применяя интегральную формулу Коши и теорему Коши о вычетах

Порядок выполнения:

1). Для аналитической ФКП в заданной области , ограниченной контуром , и представимой степенным рядом Лорана , выписать коэффициент с номером , который и называется вычетом ФКП в точке

Выч (9.1)

2). Определить особые точки ФКП , их тип (изолированная особая точка, устранимая особая точка, простой полюс или полюс высокого порядка) и порядок по показателям отрицательных степеней разложения Лорана

3). Вычислить вычет ФКП в полюсе -го порядка, используя формулу

Выч (9.2)

4). Вычислить контурный интеграл по замкнутому контуру , ориентированному против часовой стрелке и содержащему внутри точку по формуле Коши

(9.3)

Пример:

Выч

Как видно из вычислений вычета заданной ФКП с полюсом второго порядка и представления заданной ФКП в форме обобщенного полинома значения коэффициента при первой отрицательной степени разложения в обоих представлениях совпадают.

Задача № 10. Найти изображение по Лапласу функции действительной переменной .

Порядок выполнения:

1). Преобразовать подынтегральную ФДП так, чтобы она была представима комбинацией элементарных ФДП, для которых даны табличные значения изображений по Лапласу

(10.1)

Пример:

Замечание 1: использовать таблицу изображений по Лапласу

Задача № 11. Найти оригинал по его изображению по Лапласу .

Порядок выполнения:

1). Представляется обратное преобразование Меллина по формуле

(11.1)

2). Преобразовать подынтегральную ФКП к дробно – рациональному виду, определив соответствующие нули

(11.2)

3). Используя теорему о вычетах, представляем оригинал искомой ФДП

Выч (11.3)

Пример:

Задача № 12. С помощью преобразования Лапласа решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения (второго порядка) с постоянными коэффициентами и неоднородной правой частью – интегрируемой ФДП

Порядок выполнения:

1). Записать отображающее уравнение, используя преобразование Лапласа для производных различного порядка при записи левой части ОДУ и табличных преобразований для записи правой части ОДУ - элементарных функций

(12.1)

2). Разрешается отображающее уравнение относительно изображения искомой функции ФКП - и представляется это выражение в виде дробно – рациональной функции КП

(12.2)

3). Ищется оригинал искомой функции по формулам обращения Меллина посредством вычисления вычетов или используя табличные обращения Лапласа

Выч (12.3)

Замечание 1: изображения по Лапласу для производных от ФДП используются формулы

Пример:

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по разделу

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

И ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

Курса СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.

( IV семестр, II курс, поток АЭ 8-13,2007г)

Л екция 1. Основные понятия.Комплексные числа и действия с ними. Функции

комплексной переменной и их производные. Интегрирование ФКП. Степенной ряд Лорана. Вычеты.

1.Понятие комплексного числа (КЧ) действия над ними . Комплексное число – это упорядоченная пара чисел с установленным порядком (Гамильтон –W. Hamilton,1837, Гаусс-C.Gaus,1799,Д’Аламбер- J.D’Alambert,1747)

или (1)

- пара действительных чисел; - пара действительных чисел

или (2)

i- мнимая единица (Кардано – G.Cardano,1545, Бомбели-R.Bombelli, 1572);

(3)

- реальная (действительная «real») часть КЧ;

мнимая («impedans») часть КЧ.

1. Свойства КЧ:

Равество двух КЧ: два числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части .

Сопряженные КЧ: два числа комплексно сопряжены, если их мнимые части противоположного знака

2. Действия над КЧ:

-суммой двух КЧ называется третье КЧ

; (4)

-свойство суммы КЧ (переместительный закон) ;

-произведение двух КЧ называется третье КЧ

(5)

(6)

-частное двух КЧ называется третье КЧ

(7)

1.3.Геометрическая интерпретация КЧ - вектор в декартовой системе координат на комплексной плоскости : -действительная ось; - мнимая ось (Вессель –C.Wessel,1799 ).

1.3.1. Тригонометрическая форма (Эйлера-L.Euler,1777,1794) КЧ

(8)

- модуль или абсолютная величина КЧ (радиус-вектор из начала системы координат (0,0) в конец вектора- точку с координатами ( ));

- аргумент КЧ (неоднозначный, т.к. зависит от натурального числа );

- главное значение аргумента.

1.3.2. Показательная форма КЧ, тригонометрическая и ортогональная

(9)

1.4. Векторная сумма и разность двух КЧ и неравенства треугольника

(10)

1.5. Произведение и частное двух КЧ показательной форме

(11)

(12)

1.6. Возведение в степень и извлечение корня из КЧ формулы Муавра (A.de Moivre,1707,1724) и Котеса (R.Cotes,1722)

(13)

(14)

2. Последовательности КЧ и пределы:

Последовательности КЧ- пронумерованное множество КЧ

предел последовательности КЧ - комплексное число такое, что

при (15)

-“эпсилон” окрестность.

Теорема 1 (о необходимом и достаточном условии сходимости ) последовательности КЧ: последовательность КЧ

сходится , если сходятся последовательности действительных и мнимых частей.

Последовательность ограничена, если существует такое число M, что

Критерий Коши (сходимости): последовательность сходится тогда и только тогда , когда для любого справедливо неравенство

при и (16)

Бесконечно удаленная точка ,

,

3.Функции комплексной переменной (ФКП): множество ( - область), ( ) - внутренняя точка области – окрестность внутри области; ( ) -внешняя точка области - окрестность вне области: ( ) - замкнутая область; ( ) - граница области.

3.1. Однозначная функция комплексной переменной (КП) заданная в , определяется законом , ставящим в соответствие каждому значению из определенное КЧ из

; (17)

3.2. Многозначная функция комплексной переменной (КП) заданная в , определяется законом , ставящим в соответствие каждому значению из несколько значений КЧ из

;

3.3. Обратное соответствие: каждому значению из соотвтветствует (однозначное или многозначное) значение из

; ; ; (18)

3.4. Однолистные функции , если принимают различные значения, многолистные функции принимают одинаковые значения.

3.5. Непрерывные функции КП : для каждой сходящейся последовательности

(19)

пределы не зависят от пути подхода к точке на плоскости и на плоскости .

4. Дифференцирование ФКП. Пусть и задана , тогда независимо от пути стремления к , если существует предел

; (20)

то существует производная функции .

4.1. Свойства действительной и мнимой частей ФКП – независимость от пути стремления

(21)

условия Д’Аламбера-Эйлера (Коши-Римана) (Коши-A.L. Cauchy-1824, Риман -G.F.B.Riemann-1854)

(22)

5. Аналитические функции КП и их свойства:

Аналитической функцией называется такая функция , которая во всех точках некоторой области дифференцируема, а ее производная непрерывна в этой области.

5.1. Сумма, произведение и частное двух ( ) аналитических функций –функция аналитическая

; ; (23)

2. Сложная аналитическая функция от аналитической –аналитическая

2. Производная аналитической функции ( ) и обратной ( ) – аналитическая

(24)

2. Дифференциал мнимой части аналитической функции по заданной ее действительной части

(25)

2. Ортогональность линий уровня действительной и мнимой частей

(26)

, , (27)

2. Геометрический смысл производной

(28)

- аргумент равен разности углов вектора касательной к кривой в точке с осью и вектора кастельной к кривой в точке с осью ;

-коэффициент растяжения.

2. Конформность отображения аналитической функцией

отображение обладает свойством сохранения углов и постоянством растяжения

(29)

;

здесь ( ) – углы касательных к кривым ( ) с осью ( ) и на плоскости ( ), а ( ) – соответствующие углы касательных к кривым ( ) с осью ( ) на плоскости ( ).

ПРИМЕРЫ.

Задание № 2. Представить КЧ и в тригонометрической и показательной формах. Вычислить и записать в алгебраической форме.

Решение:

Задание № 3. Найти все корни алгебраического уравнения

Решение:

6.Интегрирование ФКП. На плоскости ( ) задана функция и кусочно – гладкая непрерывная кривая C, заданная координатами , как функция действительного параметра . Выражение

(30)

определяет криволинейный интеграл второго рода от ФКП по контуру.

6.1. Свойства интеграла:

- изменение знака при изменении направления обхода

(31)

- сумма интегралов по двум контурам равна интегралу по суммарному контуру

(32)

- постояная выносится за знак интеграла

(33)

- сумма двух интегралов от двух функций по одному контуру равна интегралу от суммы

(34)

- модуль интеграла меньше интеграла от модуля функции

(35)

- интеграл по контуру равен интегралу по параметру

(36)

6.2. Интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции. Интеграл Коши.

Теорема Коши: интеграл от аналитической функции по любому односвязному замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю

(38)

Неопределенный интеграл от аналитической в области функции по любому пути соединяющему точки определяет функцию

: (39)

первообразную.

Интеграл Коши

; ; окружность радиуса

по любому односвязному контуру ограничивающей область , содержащую точки , от аналитической функции равен значению этой функции в точке .Положительное направление обхода контура такое, когда внутренняя область остается слева от направления движения (против часовой стрелки).

Следствие из формулы Коши:

• интеграл по замкнутому контуру , целиком лежащему в области аналитической функции для любого положения точки , не лежащей на

(40)

6.Интегралы, зависящие от параметра. Значения аналитической ограниченной и непрерывной функции в некоторой замкнутой области , ограниченной контуром , во внутренней точке этой области выражается интегралом Коши

(41)

6.1. Производные любого порядка от аналитической функции выражаются интегралом типа Коши

(42)

7. Степенной ряд (Тейлора).

(43)

7.1. Ряд Лорана (П.Лоран – P.A.Laurent 1842). Аналитическая в функция разлагается в степенной ряд Лорана

(44)

7.2. Правильная и главная части ряда Лорана

- правильная часть ряда Лорана;

-главная часть ряда Лорана

(45)