Учебная дисциплина «Методы исследований в менеджменте»
Общий вид и варианты задачи производственного планирования. Задачи построения оптимального плана в статической и динамической ситуации.
В общем случае задача производственного планирования формулируется следующим образом
Max (c1 x1+ c2 x2+ cN xN ).
A11 x1 a12 x1 ... a1N xN <= b1
A21 x2 a22 x2 ... a2N xN <= b2
A11 x1 a12 x1 ... a1N xN <= b
X1>= 0 X2>=0 Xn>=0
Верхняя строка записи говорит о максимизации целевой функции. Сама целевая функция редставляет собой сумму произведений цен на объем выпуска для различных видов продукции, то есть доход предприятия от продажи изготовленной продукции. Фигурная скобка объединяет систему ограничений задачи, неравенства, входящие в систему, соответствуют различным видам ресурсов. Каждое такое неравенство говорит о том, что суммарное количество ресурса, используемое в производстве различных видов продукции, не превосходит общего запаса этого ресурса.
Всякий набор значений переменных ( nx , x ,x 1 2) называется планом задачи. Те планы, которые удовлетворяют системе ограничений, называются допустимыми планами. Оптимальным планом называется тот из допустимых планов, который дает наибольшее значение целевой функции среди всех ее значений на допустимых планах. Само это наибольшее значение целевой функции, то есть значение целевой функции на оптимальном плане, называется оптимумом задачи. Решить задачу производственного планирования – значит найти оптимальный план и оптимум для ее математической модели.
Варианты задачи производственного планирования
Например, спрос на те или иные виды продукции может быть ограничен. Предприятие по своим производственным возможностям, по ресурсам может выпустить больше продукции, чем сможет потом реализовать. Модель оптимального распределения ресурсов в этих новых условиях получается из предыдущей модели с помощью простой модификации. А именно: пусть объем реализации j-го вида продукции ограничен величиной dj. Тогда к системе ограничений следует дописать неравенства, ограничивающие объемы производства сверху:
xj =< dj
Рассмотрим ограничения противоположного смысла. Предположим, что по всем или по некоторым видам продукции предприятие имеет договоры на поставку с потребителями этой продукции. В соответствии с этими договорами предприятие должно выпустить продукцию в объеме, не меньшем заданного. Пусть продукцию j-го вида предприятие должно изготовить в объеме, не меньшем заданной величины dj . Тогда к системе ограничений следует дописать неравенства, ограничивающие объемы производства снизу:
Xj >= dj
Разумеется, спрос может быть ограничен одновременно и сверху, и снизу. В этом случае к модели следует добавить все соответствующие ограничения
Рассмотрим теперь ситуацию, когда вся выпускаемая продукция или ее часть реализуется комплектами. Предположим, что в комплект входит kj единиц продукции j-го вида (если какая-то продукция в комплект не входит, то соответствующее kj равно 0). Пусть цена комплекта равна h. Построим модель для определения оптимального производственного плана в этих условиях. Обозначим посредством q планируемое (пока еще неизвестное) число комплектов. Новая модель получается из исходной общей модели с помощью простой модификации. В целевую функцию следует ввести доход от продажи комплектов в сумме с доходом от некомплектных продаж произведенной продукции. К прежней системе ограничений следует добавить условия, обеспечивающие то, что комплекты составляются из произведенной продукции. В результате получим:
Рассмотрим теперь еще одну важную модификацию. Предположим, что предприятие может пополнять объемы ресурсов, неся связанные с этим затраты, но и расширяя свои производственные возможности. Пусть i-й ресурс можно приобрести по цене pi за единицу. Следует определить оптимальные объемы производства в условиях, когда помимо уже имеющихся объемов ресурсов bi предприятие может использовать дополнительные, пока еще неизвестные объемы этих ресурсов. Таким образом, следует рассчитать не только объемы производимой продукции, но и объемы приобретаемых ресурсов, которые будут вовлечены в производственный процесс. Обозначим эту неизвестную пока величину дополнительного объема i-го ресурса посредством ui. Для того чтобы учесть затраты на приобретение ресурсов, следует величину этих затрат, то есть произведение цены на объем приобретаемого ресурса, ввести в целевую функцию со знаком «минус» для каждого из приобретаемых ресурсов. Для того чтобы учесть возможности использования такой продукции в производственном процессе, следует дополнить соответствующее ограничение, дополнив правые части ограничений новыми объемами ресурсов.
Модель в результате этих изменений примет следующий вид:
