3.4. Розрахунок стиснутих стержнів на стійкість

Прямолінійна форма пружної рівноваги центрально стиснутого стержня при визначеному значенні сили може виявитися нестійкою та перейти в криволінійну. Така сила називається критичною для стержня. При навіть незначному збільшенні сили понад критичне значення згинальна деформація наростає стрімко, що призводить до практично миттєвого руйнування стержня.

Здібність стержня зберігати прямолінійну форму пружної рівноваги залежить від матеріалу, з якого він виконаний, площі поперечного перерізу, а також від гнучкості стержня .

Гнучкість стержня представляє собою відношення:

(51)

де – розрахункова довжина;

– довжина стержня;

μ – коефіцієнт, який залежить від того, як закріплені кінці стержня (наприклад, при шарнірному закріпленні обох кінців μ =1, при жорсткому закріпленні одного, а другого – вільному μ = 2 ), i_min – мінімальний момент інерції перерізу.

Для стиснутих стержнів повинна виконуватися умова стійкості:

(52)

де – коефіцієнт повздовжнього згинання, який приймається за таблицею в залежності від матеріалу та гнучкості стиснутого стержня. Для кожного матеріалу існує таке значення гнучкості ₁, що при ₁, коефіцієнт. Стержні з гнучкістю ₁ називають короткими.

Приклад 11

Рис. 42

Для стояка, який показано на рис. 42 визначити [F] (матеріал ст.3, R=21 кН/см² )

Рішення

За сортаментом прокатної сталі для швелеру №20 маємо

А_с = 23,4 кН/см² , = 2,07 см, = 2,20см, z₀ = 2,07см

Для перерізу стійки

.

Таким чином

Розрахункова схема стержня

(при жорсткому закріпленні одного кінця стержня та шарнірному – другого – μ = 0,7 )

Гнучкість стержня

По таблиці ( наприклад, [1] - [3]

в результаті інтерполяції одержимо

Тоді, згідно з (52) одержимо

3.5. Поперечне згинання

При поперечному згинанні у перерізі стержня виникає згинальний момент М та поперечна сила Q (рис.43).

Рис. 43

Із згинальним моментом пов’язані нормальні напруження у поперечному перерізі, які, як і при чистому згинанні, визначаються за формулою:

(53)

З поперечною силою Q зв’язані дотичні напруження, котрі визначаються за формулою Журавського:

(54)

де - статичний момент відносно осі z частини переріза, відсічений лінією, паралельній вісі z,

– ширина перерізу на рівні розглянутої точки,

– момент інерції відносно вісі z поперечного перерізу балки.

Рис. 44

Як бачимо із (54), закон розподілу дотичних напружень по висоті перерізу залежить від форми поперечного перерізу. Максимальне дотичне напруження для практично використовуємих перерізів виникає на нейтральній лінії.

Умови міцності:

а). за нормальними напруженями

(55)

б). за дотичними напруженнями

(56)

де - розрахунковий опір на зріз.

Прогини балки визначають методом початкових параметрів, використовуючи універсальні рівняння зігнутої балки (рис. 45):

де - функціональний перервник

Рис. 45

Приклад 12.

Підібрати двотавровий переріз балки, вказаний на рис.46 (R=21кН/см², R=11 кН/см²) та визначити її прогин посередині прольоту (E=2 ·10⁴ кН/см²)

Рішення

По епюрам M та Q, показаним на рис.46, для заданої балки установлюємо, що max M=100,6 кНм, max Q=85 кН.

Рис. 46

З умови міцності маємо, що:

По сортаменту прокатної сталі приймаємо двотавр №30, для якого

d = 0,65 см.

Перевіримо міцність балки прийнятого перерізу

Перенапруження 1,4% < 3, що допустимо.

Умови міцності за дотичними напруженнями задовольняються з надміром.

Для визначення прогину балки складемо рівняння зігнутої осі згідно (57):

Початкові параметри та знаходимо із умов на опорах.

В даному разі: 1). у(0) = 0; у(4) = 0. Тому знайдемо із умови «2».

Підставляючи в (58) х=4м., маємо

Звідси

Тоді, остаточно маємо рівняння прогинів

Прогин посередині балки (при х = 2м):

Звідси