3.1. Центральне розтягнення – стискання

При центральному розтягненні –стисканні в поперечних перерізах стержня виникає повздовжня сила N. В загальному випадку вона представляє собою проекцію головного вектора внутрішніх сил на вісь стержня і прикладена у центрі ваги перерізу (рис.28).

Рис. 28

Для того, щоб виникла деформація центрального розтягання або стискання стержня потрібно, щоб рівнодіюча зовнішніх сил на торці стержня була прикладена у центрі ваги його перерізу.

Тому сама постановка задачі припускає, що положення центру ваги перерізу має бути відомо (рис.29).

Рис. 29

Для перерізів складної форми положення центру ваги перерізу визначається за формулою (5). При центральному розтяганні – стисканні напруження у поперечних перерізах стержня розподіляється рівномірно і визначається по формулі:

(39)

Умова міцності має вигляд , (40)

де R – розрахунковий опір матеріалу. Деформація стержня на дільниці, де N=const, визначається по формулі закону Гука:

, (41)

де Е – модуль пружності матеріалу.

Аналіз приведених формул показує, що всі вони утримують геометричну характеристику: А – площа поперечного перерізу стержня. Це означає, що форма поперечного перерізу не впливає на роботу стержня при центральному розтяганні – стисканні.

Примітка. Припускаємо, що в разі стискання стержня у п.3 – 4 будуть розглянуті питання, пов'язані зі стійкістю стиснутих стержнів.

Приклад 8.

Для стержня, переріз якого показано на рис. 29, визначити точку, у якій треба прикласти силу, щоб виникла деформація центрального стискання, а також визначити із умови міцності (40) величину цієї сили та величину деформації стержня (R=1,2 кH/cм² , l=300см, E=10кН/см²)

Рис. 30

Рішення

1. Для визначення точки прикладання сили знайдемо положення центру ваги перерізу. Він лежить на осі у. Для визначення другої координати, скористуємося формулою (5), приймаючи за вихідну вісь z₁:

де

2. Допустиме навантаження знайдемо із умови міцності (40):

3. Абсолютна деформація (укорочення стержня):

3.2. При чистому згинанні у поперечних перерізах стержня виникає тільки згинальний момент.

Чисте згинання називається пласким, якщо плоскість, в якій діє зовнішнє навантаження, містить вісь стержня та одну з головних центральних вісей перерізу, тобто є головною плоскістю інерції ( в цьому випадку плоскість , в якій згинається стержень, співпадає з плоскістю, в якій прикладене навантаження ). У протилежному випадку, згинання є косим.

При косому згинанні зовнішнє навантаження проектують на головні плоскості інерції. Тоді його можна представити як складеним із двох плоских. Тому розрахунок стержня має починатися із визначення положення центральних вісей перерізу ( схема рис. 18) для визначення чи є згинання пласким або косим.

Рис. 31

При пласкому згинанні у поперечних перерізах виникають нормальні напруження, які визначаються за формулою:

(42)

Аналізуючи цю формулу бачимо, що по висоті перерізу напруження змінюється за лінійним законом (рис.32). Крім того, до неї входить W_z – нова геометрична характеристика, – осьовий момент інерції перерізу відносно нейтральної лінії (яка збігається з головною центральною віссю z).

Найбільші напруження виникають в точках, найбільш віддалених від нейтральної лінії:

Рис. 32

(43)

де – осьовий момент опору перерізу.

Тоді умови міцності при чистому згинанні можна записати так:

(44)

Закон Гука при чистому згинанні має вигляд:

(45)

Рис. 33

де – радіус кривизни нейтрального шару (в даному випадку зігнутої вісі стержня).

Величина – називається кривизною.

Рис. 34

З формули (45) бачимо, що кривизна пропорційна згинальному моменту та зворотно пропорційна величині .

- характеризує жорсткість балки при згинанні й називається жорсткістю при згинанні.

На основі формули (45) можна одержати вираз стрілки прогину:

(46)

Момент інерції, який входить до формули (42) та (45) ураховує розташування матеріалу у перерізі. Тому ясно, що балка прямокутного перерізу поставлена "на ребро" є значно більш жорсткою, ніж покладена "плиском". Це зв'язано з тим, що .

Приклад 9. Для балки, показаної на рис.35 треба:

1) підібрати переріз із двотавру;

2) визначити кривизну нейтрального шару та стрілу прогину f, коли задано R=21кН/см², Е=2*10⁴ кН/см².

Рис. 34

Рішення

1. Із умов міцності (44) визначимо значення вимагаємого моменту опору:

По цьому значенні, використовуючи сортамент прокатної сталі, приймається двотавр №30 (рис.36), у якого .

В цьому разі

Рис. 36

2. Кривизна нейтрального шару визначається за формулою

.

Найбільший прогин балки у даному разі буде при х=0 та визначається за формулою (46) :