Розділ II. Зміст завдання та його виконання

Для перерізів,які складаються із декількох простих елементів, визначити положення головних центральних осей та величин головних центральних моментів інерції.

Алгоритм розв’язку поставленої задачі показано на структурно-логічній схемі(рис18).

В випадку, коли переріз має хоча б одну ось симетрії,структурно-логічна схема розв’язку задачі значно спрощується, так як ця ось являється головною центральною.

Нижче розглянуті приклади розв’язання:вказаних задач для симетричних(1-4) перерізів та(5-7) для – не симетричних.

Приклад 1. Для перерізу,показаного на рис.19, осі z та y являються осями симетрії, тому вони - головні центральні.

Рис. 19

Розбиваючи переріз на три прямокутники,можна записати:

Таким чином:

Це значить, що балка розглянутого перерізу при рівних умовах, одержить раз менші прогини від навантаження,які діють в вертикальній площині, ніж від навантаження, які діють в горизонтальній площині.

Приклад 2. Переріз складається з двох однакових двотаврів №22. Осі z та y, являються осями симетрії, представляють із себе головні центральні осі перерізу.

Для визначення моментів інерції одного двотавра використаємо сортамент прокатної сталі.

Рис. 20 Рис. 21

При використанні сортаменту необхідно знати, що найменування осей сортаменту, в загальному випадку, не співпадають з найменуванням осей елементів перерізу, які розглянуті в задачі. Тому при використанні сортаменту, необхідно провести переадресiвку осей.

На рис.21 показані осі в сортаменті для двотавра. Не важко побачити, що в нашому прикладі ось z₁ двотавра відповідає осі: y-y сортаменту. Це можна записати так:

Використовуючи сортамент, маємо для двотавру №22:

Тепер можна записати:

Остаточно маємо:

Приклад 3.

Для перерізу показаного на рис.22, осі z та y являються головними центральними осями.

Рис. 22

Для визначення геометричних характеристик прокатних профілів, які являються елементами заданого перерізу, скористаємося сортаментом прокатної сталі для швелеру №14

для двотавру №20

Тепер визначаємо осьові моменти інерції:

Таким чином, головні центральні моменти інерції:

Приклад 4.

Рис. 23

Переріз складається із трьох швелерів N10. Використовуючи сортамент, маємо:

Для швелеру №10:

Для швелеру №10:

Розглянутий переріз має одну ось симетрії. Центр ваги перерізу лежить на цій осі. Для визначення координати центру ваги y_c приймемо за вихідні осі та .

Тоді

Відкладемо на рис. 23, проведемо через точку С другу центральну

ось z.

Осі та - головні, так як ось у являється віссю симетрії перерізу.

Визначимо величини моментів інерції відносно цих осей.

Таким чином;

;

Приклад 5.

Визначити положення головних центральних осей та величину головних центральних моментів інерції прямокутного трикутника (рис. 24) при b=6см; h=12см.

Рис. 24

Рішення.

1.Знайдемо положення центру ваги.

Центр ваги трикутника, як відомо, знаходиться на відстані однієї третини висоти від основи, тому в осях

Через центр ваги перерізу проведемо допоміжні осі паралельно осям z та y.

2.Визначимо величину моментів інерції відносно допоміжних центральних осей , використовуючи формули (20), (21):

3. Визначимо положення головних центральних осей, використовуючи формулу (29).

Розв’язавши цю задачу спочатку у вигляді букв, підставивши (20), (21) у (29). Тоді, після скорочення, маємо

Підставляючи у цю формулу числові значення та одержимо

Звідси ,

Так як додатне, то це означає, що головні осі повернуті по відношенню до допоміжних проти годинникової стрілки.

Слід помітити, що між та кутом трикутника γ існує цікава залежність

Цю залежність легко одержати , якщо урахувати, що

4.Визначимо величини головних центральних моментів інерції. Для цього у формулу (36) підставимо вираз (20.21)

Підставивши у останню формулу числове значення, маємо

Таким чином, головні моменти інерції:

Для того, щоб пізнати, відносно якої з осей момент інерції має максимальне (мінімальне) значення, порівняємо величини та

Так як , то ,

Приклад 6. Для перерізу, вказаного на рисунку 25, визначити положення головних центральних вісей та величини головних центральних моментів інерції.

Рис. 25

Рішення

Визначимо координати центру ваги перерізу у вісях z, y. Для цього розіб'ємо переріз на два прямокутники. Маємо:

По цим координатам нанесемо на фігуру точку С , яка відповідає центру ваги цього перерізу, і проведемо паралельно вісям z, y допоміжні центральні вісі .

2. Визначемо величини осьових та відцентрового моментів інерції відносно допоміжних центральних вісей, використовуючи формули (9, 18, 19)

Тут ураховано, що ,

3. Визначимо розташування головних центральних вісей перерізу, використовуючи формулу /29/:

Звідси,

Покажемо на рисунку головні центральні вісі , повернувши допоміжні центральні вісі на кут проти годинникової стрілки .

4.Визначимо величини головних центральних моментів інерції,використовуючи формулу (36):

Для того, щоб визначити відносно якої з головних вісей момент інерції приймає максимальне (мінімальне) значення , порівняємо величини основних моментів інерції відносно допоміжних центральних вісей.

Приклад 7. Визначити розташування центральних вісей та величину головних центральних моментів інерції складного перерізу, показаного на рис.26

Рис. 26

Рішення

Звертаючись до сортаменту прокатної сталі , виберемо геометричні характеристики елементів перерізу:

для швелера №24

для кутика 108*100*16

2 . Визначимо координати центру ваги у вісях z₂, y₂:

По одержаним координатам на рисунку покажемо центр ваги перерізу С, через який проведемо вісі , паралельні вихідним z₂, y₂.

3. Обчислимо моменти інерції всього перерізу відносно вісей , користуючись формулами (9, 18, 19):

При обчисленні центрального моменту інерції ураховуємо, що вісь y₁ для швелера є віссю симетрії , тому = 0.

Для рівнобокого кутика (рис. 27) вісь х₀ – х₀ є віссю симетрії .

Тому

Для визначення треба від головних вісей x₀, y₀, зробити поворот вісей на 45^о проти годинникової стрілки, використовуючи формулу (27), та отримуємо

Неважко помітити, що для рівнобокого кутика відцентровий момент інерції,відносно центральних вісей паралельних його полкам, визначається за формулою:

Аналіз знака можна виконати, маючи на увазі ,що вісі z, y ділять кутик на три частини. Знак кожної частини встановлюємо в залежності від того,в якому квадраті вона знаходиться. Наприклад, для кутика (рис.27) в I та III квадратах відцентрові моменти інерції додатні, а в II квадраті - від'ємні . Очевидно, що сумарний момент інерції кутка більший нуля. Це підтверджується виконаним вище обчисленням.

Рис. 27

4. Визначити положення головних центральних вісей, використовуючи формулу (29):

Звідки постає, що .

На рис. 26 покажемо головні центральні вісі. Їх слід нанести повернутими проти годинникової стрілки на кут по відношенню до вихідних центральних вісей .

5. Визначимо величини головних центральних моментів інерції, використовуючи формулу (36):

Для того, щоб визначити, відносно якої з головних вісей момент інерції приймає максимальне( мінімальне) значення, порівняємо значення осьових моментів інерції відносно допоміжних центральних вісей.

Так як < , то , а .