
- •Міністерство освіти і науки,
- •Анотація
- •2. Точки і лінії
- •2.1 Представлення точки
- •2.2 Перетворення і матриці
- •2.3 Перетворення точки
- •2.4 Перетворення прямих ліній
- •2.5 Перетворення середини відрізка
- •2.6 Паралельні лінії
- •3. 2D Операції
- •3.1 Обертання
- •3.2 Відображення
- •3.3 Зміна масштабу
- •3.4 Комбіновані операції
- •3.5 Перетворення одиничного квадрата
- •3.6 Довільна матриця обертання розміру 2х2
- •3.7 Двовимірне зміщення і однорідні координати
- •3.8 Точки в нескінченності
- •3.9 Двовимірне обертання навколо довільної осі
- •4. 3D Операції
- •4.1 Тривимірне перетворення і проекція
- •4.2 Трьохмірна зміна масштабу
- •4.3 Тривимірний здвиг
- •4.4 Тривимірне обертання
- •3 Окремих випадки:
- •4.5 Відображення в просторі
- •4.6 Просторовий перенос
- •4.7 Зображення тривимірних об'єктів
- •4.8 Фактори підвищення наочності глибини
- •4.9 Півтони на прямолінійних об'єктах, гранично допустимі перспективні спотворення, стереоскопія і рух
- •4.10 Відсікання
- •4.11 Розподіл середньою точкою
- •4.12 Поля індикації
- •4.14 Перетворення кадрування
- •4.15 Прив'язки
- •5. Афінна і перспективна геометрія
- •5.1 Аксонометрична проекція
- •5.2 Перспективні перетворення
- •5.3 Стереографічна проекція
- •Література
- •Шестопалов с.В.
- •65039, Одеса, вул. Канатна, 112
3.8 Точки в нескінченності
Використання однорідних координат дає зручний та оперативний спосіб відображення безлічі точок однієї координатної системи в відповідні множини перетвореної системи координат. Як правило нескінченна область однієї координатної системи буде відображатися в кінцеву область іншої координатної системи. При цьому прямі лінії, паралельні в одній системі координат, в загальному випадку, не будуть паралельними в іншій.
Геометричні властивості, наприклад точку перетину, зламу, можна оцінити в будь-якій з цих систем координат.
Нехай дві лінії задані рівняннями
та мають точку перетину
Це рішення може бути отримано в елементарній однорідній системі координат.
Перепишемо рівняння у вигляді
Їх можна представити в матричній формі:
де
AT=B
Розглянемо другий тип, який не має зворотної матриці:
Рішень немає, лінії паралельні tgα=1, але можливий інший вираз, який дозволяє мати зворотну матрицю:
М
ножимо
дві частини рівняння на обернену матрицю.
Результуючі
однорідні координати
повинні представляти “точку
перетину”
двох паралельних ліній в нескінченності.
Зазвичай двовимірний однорідний вектор [a b 0] утворює точку в нескінченності на лінії ay-bx = 0. Той факт, що вектор з компонентою h=0 представляє точку в нескінченності, може бути продемонстрований наступною процедурою.
Розглянемо
лінію
та
точку
.
Так
як точка може бути представлена в
однорідних координатах будь-якими
способами, зауважимо, що при H→0
відношення
залишається рівним 3/4.
Далі, наступні, одна за одною пари
,
які потрапляють на лінію
стають
ближче до нескінченності. Таким чином
в межі, коли H
→ 0,
точка прямує до нескінченності [x
y H]
→ [∞
∞ 1]
.
У такій формі однорідні координати дають зручне представлення точки в ∞ в доповнення до властивостей однорідних перетворень.
3.9 Двовимірне обертання навколо довільної осі
Раніше було розглянуто обертання зображення відносно початку координат. Однорідні координати забезпечують поворот зображення навколо точок відмінних від початку координат.
У загальному випадку, обертання навколо довільної точки, може бути виконано шляхом перенесення центру обертання в початок координат, поворотом щодо початку координат, а потім переносом точки обертання у вихідне положення.
Таким чином поворот вектора положення [x y 1] навколо довільної точки M (m, n) на кут θ може бути виконаний так:
(3.18)
Рис.10 – Поворот вектора навколо довільної точки
Рис.11 – Обертання навколо осі OZ
Рис.12 – Обертання навколо осі OX
Рис.13 – Обертання навколо осі OY
4. 3D Операції
4.1 Тривимірне перетворення і проекція
Для найкращого сприйняття форми об'єкта, необхідно мати його зображення в трьохмірному просторі. У багатьох випадках початкове уявлення про об'єм, можна отримати лише шляхом виконання операцій обертання і переносу, а також шляхом побудови його проекції. У цьому не важко переконатися на прикладі деякого відносно складного об'єкта. Для того щоб отримати уявлення про його форму, конструктору необхідно виконати операцію обертання та спостереження на деякій відстані з різних сторін і т.д.
Якщо ці операції виконувати за допомогою ЕОМ, то всі результати отримані для плоского зображення, необхідно поширити на просторове. З метою цього введемо знову однорідні координати. Тоді точка в 3-ох-мірному просторі буде представлена в однорідних координатах [x y z] →
[x y z 1] або [X Y Z H].
Перетворення з однорідних координат описується співвідношенням:
(
4.1)
Матриця T – деяка матриця перетворення. Узагальнена матриця перетворень 4х4 має вигляд:
(4.2)
Матриця [3х3] здійснює лінійне перетворення у вигляді: зміни масштабу, здвигу, обертання, відображення. Матриця-стовпець [3х1] – перетворення в перспективі. Матриця-рядок [1х3] – перетворення зміщення. Останній скалярний елемент S – повне перетворення масштабу.
Повне перетворення отримуємо шляхом впливу на вектор положення матрицею [4х4] і нормалізацією перетвореного вектора. Таке перетворення будемо називати – білінійним. Воно забезпечує виконання комплексу операцій (здвиг, зміщення, зміна масштабу та інші).