5. Афінна і перспективна геометрія

Теореми афінної геометрії, ідентичні теоремам евклідової геометрії. У них важливими є поняття паралельності і співвідношення між паралельними лініями. Афінні перетворення – є комбінацією лінійних, супроводжуваних переносом зображень. Для афінних перетворень, останній стовпець в узагальненій матриці перетворення розміром 4х4, повинен бути рівний , інакше перетворена однорідна координата H, не буде одиничною і немає однозначного співвідношення між афінними перетвореннями і матрицею перетворень 4х4.

Афінні перетворення формують зручну підсистему білінійних перетворень, так як добуток двох афінних перетворень також є афінним. Це дозволяє представити узагальнену орієнтацію системи точок, по відношенню до довільної координатної системи, при збереженні одиничного значення однорідної координати H.

Перспективними перетвореннями часто користуються художники і архітектори, так як ці зображення дозволяють отримати матрицю близьку до реальної, однак через складність побудов їх рідко використовують конструктори.

В перспективній геометрії немає двох ліній паралельних одна одній і перспективна площина може бути розглянута як полусферна поверхня, а перспективне перетворення, як перетворення з одного 3-ох-мірного простору в інший. Перспективне перетворення має місце у випадку, коли останній стовпець в узагальненій матриці перетворення не нульовий.

Перспективне перетворення асоціюється з побудовою проекції на площині з точки , іменованої центром проекції.

Комбінація перспективного перетворення з проекційним утворює перспективну проекцію. Перспективна проекція представляє собою перетворення зображення з 3-ох-мірного простору в 2-ох-мірний. Якщо центр здійснення проекції розташовується в нескінченності, то паралельна проекція називається аксонометричною. Іншими словами, вид проекції залежить від розташування цього центру.

5.1 Аксонометрична проекція

Аксонометрична проекція отримується за допомогою афінного перетворення, визначник якого det (T) = 0. Для отримання аксонометричних залежностей, що описують афінні перетворення, використовується матриця перетворення 4х4, необхідна для афінного перетворення системи точок.

Точки потім проектуються на площину з центру здійснення проекції – нескінченності. Афінне перетворення з 3-ох-мірного простору Z = n, може бути знайдене за допомогою наступної операції:

(5.1)

Це перетворення, являє собою перенесення зображення в напрямку осі Z на величину n, яке слідує за здійсненням проекції з нескінченності на площину Z = 0.

(5.2)

В результаті перетворення Т′ та Т′′ ми отримали аксонометричну проекцію на площині Z = n. Для виконання операції переносу необхідно перемістити площину Z = 0 в деяке інше положення, тоді проекція в площині Z = 0 буде відповідати проекції в площині Z = n.

Перетворення аксонометричної проекції у відповідну ненульову площину, завжди містить третій стовпець, який відповідний площині проекції. Такі проекції часто називають ортографічними.

Ортографічна проекція на площині:

(5.3)