Алгоритм нахождения экстремумов функции

1. Найти область определения функции

2. Найти производную функции

3. Приравнять производную к нулю и найти критические точки функции

4. Отметить критические точки на области определения

5. Вычислить знак производной в каждом из полученных интервалов

6. Выяснить поведение функции в каждом интервале

7. Учитывая поведение функции, определить точки максимума и точки минимума.

Пример 1: Определите точку максимума функции: .

Решение:

1. Найдем область определения функции: .

2. Теперь найдем производную от функции.

3. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

4. В ынесем полученные результаты на числовую прямую, и определим знак в каждом полученном промежутке.

Видно, что у функции единственный максимум, это точка х = 0 (в ней происходит смена знаков с «+» на «-»).

Ответ: х = 0.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение:1) Находим область определение функции: ℝ.

2) Находим производную функции и ее критические точки:

;

: , ⇒ , ;

- не существует: таких точек нет.

3 ) Определяем знак :

Таким образом,

– точка минимума функции ,

– точка максимума функции ,

Ответ: , .

3. Выпуклость и вогнутость кривой на промежутке.Точка перегиба графика функции.

Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.

Определение 1: Кривая называется выпуклой (обращена выпуклостью вверх) на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом участке.

Определение 2: Кривая называется вогнутой (обращена выпуклостью вниз) на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом участке.

Рассмотрим теперь достаточный признак, позволяющий установить, является ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

Теорема 1: Пусть функция имеет вторую производную во всех точках некоторого интервала . Если во всех точках этого интервала , то график функции в этом интервале выпуклый (имеет выпуклость вверх), если же , то – вогнутый (имеет выпуклость вниз).

Определение 3: Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

рис 2.

На рисунке 2 изображён график функции y = x³

Точкой перегиба является точка 0.

Нахождение точек перегиба графика функции основано на следующих двух теоремах.

Теорема 2: (достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная непрерывной функции меняет знак при переходе через точку с абсциссой , то эта точка является точкой перегиба графика функции.

Теорема 3: (необходимый признак существования точки перегиба). Пусть функция имеет в интервале непрерывную вторую производную . Тогда, если точка с абсциссой является точкой перегиба графика данной функции, то .

Абсциссы точек перегиба графика непрерывной функции следует искать среди тех точек, в которых вторая производная или равна нулю или разрывна (в частности, не существует).

Пример:

Функция y = x³ является вогнутой при  x> 0  и выпуклой при  x< 0. В самом деле,  y'' = 6x, но

6x> 0 при  x> 0  и  6x< 0  при  x< 0, следовательно,  y''> 0 при x> 0 и  y''< 0 при x< 0, откуда следует, что функция  y = x³ является вогнутой при  x> 0 и выпуклой при x< 0. Тогда  x = 0 является точкой перегиба функции  y = x³. График функции на рисунке 2.