3.Таблица производных элементарных функций.
1.
где С – постоянное число.
2.
;
в частности,
,
3.
в частности,
4.
в частности,
5.
6.
7.
8.
4.Сложная функция и правило ее дифференцирования.
Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
(5)
Пример 1.
Найти производную функции
Практические задания:
Найти производные функции:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Тема 4: «Применение производной функции в построении графиков функции».
1. Теорема о признаке возрастания (убывания) функции на промежутке. Правило исследования функции на монотонность.
Некоторые функции во всей своей области определения изменяются монотонно - только возрастают или только убывают. Многие функции изменяются не монотонно. В одних интервалах изменения независимой переменной они возрастают, а в других интервалах убывают.
Определение 1:Функция называется возрастающей на интервале, если с возрастанием значений аргумента значения функции тоже возрастают.
Определение 2:Функция называется убывающей на интервале, если с возрастанием значений аргумента значения функции убывают.
Возрастание и
убывание функции
характеризуется знаком ее производной
.
Теорема:если
в некотором интервале
,
то функция возрастает, а если
,
то функция убывает в этом интервале.
Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции
1. Найти область определения функции
2.Найти производную функции
3. Приравнять производную к нулю и найти критические точки функции
4. Отметить критические точки на области определения
5. Вычислить знак производной в каждом из полученных интервалов
6. Выяснить поведение функции в каждом интервале.
Пример: Найдите промежутки возрастания
и убывания функцииf(x)
=
и
число нулей данной функции на промежутке
[0; 10].
Решение:
D(f) = R
f '(x) =
D(f ') = D(f) = R
Найдём критические точки функции, решив уравнение f'(x) = 0.
x(x – 10) = 0
критические точки функции x = 0 и x = 10.
Определим знак производной.
f'(x) + – +
f(x) 0 10x
в промежутках (-∞; 0) и (10; +∞) производная функции положительна и в точках x = 0 и x = 10 функция f(x) непрерывна, следовательно, данная функция возрастает на промежутках: (-∞; 0]; [10; +∞).
В промежутке (0; 10) производная отрицательная и в точках x = 0 и x = 10 функция f(x) непрерывна, следовательно, данная функция убывает на промежутке [0; 10].
Определим знак значений функции на концах отрезка.
f(0) = 3, f(0) > 0
f(10) =
,
f(10) < 0.
Так как на отрезке [0; 10] функция убывает и знак значений функции изменяется, то на этом отрезке один нуль функции.
Ответ: функция f(x) возрастает на промежутках: (-∞; 0]; [10; +∞);
функция f(x) убывает на промежутке [0; 10];
на промежутке [0; 10] функция имеет один нуль функции.
2. Точки экстремума функции: точки максимума и точки минимума. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции. Правило исследования функции на экстремум.
Определение 1:Точки, в которых производная равна нулю, называются критическими или стационарными.
Определение 2.
Точка
называется точкой минимума (максимума)
функции
,
если значение функции в этой точке
меньше (больше) ближайших значений
функии.
Следует иметь в виду, что максимум и минимум в данном случае являются локальными.
На рис. 1. изображены локальные максимумы и минимумы.
М
аксимум
и минимум функции объединены общим
названием: экстремум функции.
Теорема 1.
(необходимый признак существования
экстремума функции). Если дифференцируемая
в точке
функция
имеет в этой точке максимум или минимум,
то ее производная при
обращается в нуль,
.
Теорема 2. (достаточный признак существования экстремума функции). Если непрерывная функция имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку (за исключением может быть самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум, а при переходе знака с минуса на плюс – минимум.