Тема 2: «Пределы функции».

1. Предел функции в точке (определение). Предел функции в точке.

y f(x)

A + 

A

A - 

0 a - aa + x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение.Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что0 <x - a<

верно неравенство f(x) - A<.

Запись предела функции в точке:

2. Бесконечно малая функция в точке (на бесконечности).

Определение:Функцияy=f(x) называется бесконечно малой функцией в точке x=a (при x ), если её предел в этой точке равен нулю: .

Теорема:Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке а, как и произведение бесконечно малой на ограниченную функцию, являются бесконечно малыми функциями в точке а.

3. Бесконечно большая функция в точке (на бесконечности).

Определение:Функция называется бесконечно большой функцией в точке , если для любой сходящейся к а последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой.

Записывают это так: , , , .

Важно помнить, что не существует такого понятия как «просто бесконечно малая функция» или «просто бесконечно большая функция». Функция может быть бесконечно малой или бесконечно большой только в конкретной точке.

4. Теоремы о связи между бесконечно малой и бесконечно большой функциями в точке.

Теорема 1: Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Пример:Ясно, что при x→+∞функция y = x²+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая приx→+∞, т.е. .

Теорема 2 (обратная): Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

5. Теоремы о пределах функции:о сумме; о произведении; о частном двух функции; о постоянном множителе).

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.

Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

6. Правило раскрытия неопределенности типа .

Пример:

.

При вычислении предела неопределённости вида числитель и знаменатель дроби надоразделить на x в старшей степени.

7. Правило раскрытия неопределенности типа .

Пример:

. .

При вычислении неопределённости вида нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить, затем подставить предельное значение аргумента и вычислить предел.

При раскрытии неопределённостей вида и можно использоватьправило Лопиталя.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а за исключением, быть может, самой точки а. Кроме того, пусть , причём в указанной окрестности точки а. Тогда если существует предел отношения (конечный или бесконечный),то существует и предел , причём справедлива формула

.

Замечание 1.Правило Лопиталя можно применять повторно, если и удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f(x) и g(x).

Замечание 2.Теоремаостаётся верной и в случае, когда .

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Неопределённости вида

Правило Лопиталя остаётся справедливым при замене условия на условие .

Пример 4.

Пример 5.