4. Основные свойства определённого интеграла

1. По определению полагаем

(1)

как определённый интеграл нулевой длины.

Также по определению полагаем, что

= - (2)

поскольку при движении от b к aвсе длины частичных отрезков имеют отрицательный знак в интегральной сумме (7.1).

2. Для любых чисел a, b и с имеет место равенство

= + . (3)

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

= . (4)

4. Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определённых интегралов:

= . (5)

4. Вычисление определённых интегралов.

5. Интегрирование заменой переменной.

Теорема 1:Пусть: 1)f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b]; 2) функция дифференцируема на [ ], причём непрерывна на [ ] и множеством значений функции является отрезок [a, b]; 3) . Тогда справедлива формула

(1)

Формула (1) называется формулой замены переменной или подстановки в определённом интеграле.

Пример 1.

Решение:Выполним подстановку . Тогда при х = 0 и при х = 1. Поскольку функция непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для неё, в силу теоремы 4 существует первообразная на этом отрезке. Получаем

Пример 2.

Решение:Применим здесь подстановку Тогда при х = 0, при х = а. Подставляя всё это в исходный интеграл, получим

Пример 3.

Решение: По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Если использовать для интегрирования подстановку, например, , то получим:

.

Данный ответ неверный, так как при замене использовалась функция , имеющая разрыв на промежутке интегрирования (по теореме 1 функция должна быть непрерывна на этом промежутке).

Нельзя также использовать замену , так как на концах промежутка функция принимает одинаковые значения.

Можно использовать замену

Данный пример рассмотрен для наглядности, чтобы понять, какие замены можноиспользовать, а какие - нет.

7. Интегрирование по частям.

Теорема 2. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]; тогда справедлива формула

(1)

Равенство (1) называется формулой интегрирования по частям в определённом интеграле.

Пример 1.

Решение:Положим здесь u=x, v=e^-x, тогда и

Пример 2.

Решение: Здесь u=x, или далее по формуле имеем

Практические задания:

1. Вычислить определенный интеграл:

а) ; б)

4) .

2.Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: .

3.Скорость движения точки изменяется по закону (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за 10 сот начала движения.

Таблица интегралов.

Для обычной функции	Для сложной функции
1). =kx+ C
2). = x + C
3). =	=
4). = .	=
5). = .	= .
6). =
7). =	=
8). =	=
9). = .
10). = .

Определение первообразной функции:Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F^′ (x)= f(x).