30. Геометрические фракталы

Именно с этим фракталов началась история развития фракталов в целом. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении геометрических фракталов руководствуются следующим алгоритмом:

1. Берется набор отрезков, на основании которых будет строится фрактал.

2. К данному набору применяют определенные правила, которые преобразуют его в какую-либо геометрическую фигуру.

3. К каждой части этой фигуры применяют тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться всё сложнее и, если провести бесконечное количество преобразований, получим геометрический фрактал.

Примеры геометрических фракталов: кривая Пеано, снежинка Коха, лист папоротника, треугольник Серпинского,

Рис. Снежинка Коха Рис. Лист Рис. Треугольник Серпинского

31. Алгебраические фракталы

Фрактал — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком

Алгебраические фракталы получили своё название за то, что их строят на основе алгебраических функцій. К алгебраическим фракталам относяться: множество Мандельброта, множество Жюлиа, басейны Ньютона, биоморфы.

-множество Мандельброта:Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату. Фату изучал рекурсивные процессы вида

Начав с точки   на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется орбитой   при преобразовании 

Фату нашел, что орбита   при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований — своё для каждого значения  . (названо мандельброта так как он первым провел необходимое количество вычислений использовав компьютер).

-множество Жюлиа:  мно́жество Жюлиа́   рационального отображения   — множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если f — полином, рассматривают также заполненное множество Жюлиа — множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.

-бассейны Ньютона:Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона накомплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости).

Применим метод Ньютона для нахождения нуля функции комплексного переменного, используя процедуру:

Выбор начального приближения   представляет особый интерес. Т.к. функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям.

-биоморфы: сокращенная форма множества Жюлиа, вычисляеться по формуле z=z³+c. Название получила из-за схожести с одноклеточными организмами.

32. Стохастические фракталы

Типичным представителем данного вида фракталов является так называемая плазма. Для её построения берут прямоугольник и для каждого его угла определяют цвет. Далее находят центральную точку прямоугольника и раскрашивают её в цвет, равный среднеарифметическому цветов по углам прямоугольника + некоторое случайное число. Чем больше это случайно число - тем более рваным будет рисунок. Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;

граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.

эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.

различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, заключающиеся в получении изображения случайного фрактала.