6. Проективная плоскость и ее модели. Группа проективных преобразований. Приложения к решению задач.

Перспективное соответствие между плоскостью и связкой.

О – ц. связки, S(O) – связка, пл.  пр-ва, O , М – произвольная т.пл. . Какую бы т. мы не взяли, всегда найдется луч связки, прох.ч/з нее. Кажд.т. пл. соотв. луч связки.

m, след.пр. m соотв. пл.связки. Кажд.пр.пл-ти  соотв. пл.связки =[0,m] ;

Буд.гов.,что т.М и пр. m инцендентны пл  , если Mm;

Буд.гов.,что луч m’ и пл.  инцендентны пл. , если луч лежит в данной пл.связки.При перспективном соотв. между пл. и связкой инцидентность сохраняется.

M m

m’ 

m₁ – таких лучей бескон.мн-во.

Кажд.ли пл. связки имеет соотв.прямую на пл.  ? (Нет,т.к сущ.лучи паралл.пл-ти.) Все лучи паралл.пл-ти  - особые лучи, этих ос.лучей бесчислл.мн-во для кажд.из них нет соотв.т-ки пл-ти 

Особых пл-ей – одна, в ней нет особ.лучей пл-ти . Кажд.пл.связки содержит одну единств. Особый луч. Теор.две пл-ти =[0,m], ’=[0,m’] тогда и только тогда пересекаются по особому лучу, когда прямые m и m’ параллельны.

Определение расширенных прямой, плоскости, пространства.

Если множество точек прямой дополнить несобственной точкой, то получим множество называемое расширенной прямой. Плоскость  , дополненная несобственной прямой m  называется расширенная плоскость. Пространство, дополненное плоскостью называется расширенным Евклидовым пространством.

Модели проективной плоскости.

1)1 модель : Евкл.пр-во, оно модерниз. дополняется новыми фигурами,след.получ.новое пр-во. Если имеется связка S(O) и пл-ть .

Перспективное соответствие (взаимнооднозначн. не явл.,т.к.например, m|| то лучу m нет соотв-щей T на пл. . А пл-ть, содержащ. M, не имеет соотв.прямой на пл )

Затем пытаемся эту проблему исключить. Вводят несобственную точку, мн-во несоб.т.образуют прямую, и она явл.соотв.пл-ти, проход.ч/з особую прям, паралл.пл 

2) ч/з аксиоматич.опред.: ,

Рассм.отображени : ( )Е

Если оно обладает св-ми:

1. - сюрьекция, 2.

Е-проект.пр-во, а 1 и 2 – аксиомы проект.пр-ва.

3) /_∆=Р( ) классы коллин.между собой вект-в - элементы Р( )

Рассмотр.отобр. Р( ) соотв.взаимооднозн.

Принципы двойственности.

Малый пр-п двойственности: из всякого предл. F, отн. точек и пр-х проект. пл-ти, сформулир-го в терминах инцендентности м. пол-ть 2-ое предл-е, путем замены в 1-ом предлож.слова «точка» словом «прямая» и наоборот. Большой пр-п двойственности(для пр-ва 3х измерений, формулир. проект.пр-ва):Из всякого проективного предложения относительно точек прям. и пл-ей, проект.пр-во, сформулир.в терминах инцендентности можно получить 2-ое предл-е, справедл. вместе с 1-первым путем замены слова «точка» «пл-ть», «пл-ть»»точка»

Теорема Дезарга.

Если на пл-ти даны 2 треуг-ка.Если 2 тр-ка имеют центр перспективы,то они имеют и ось перспективы.

Существует и обратная теорема.

Проективное преобразование — это преобразование проективной плоскости, переводящее прямые в прямые.

Мн.проективн.преобразований образуют группу

Приложение проективных теорем к решению задач на построение одной линейкой.

Теор.1: (т.о взаимности) если поляра т.А проходит через т.В, то поляра т.В проходит через т.А.

Теор.2. Если из т.А, расположенной вне линии 2ого порядка, проведены к ней касательные, то точки касания лежат на поляре точки А.