2.4 Разложение Холецкого (метод квадратного корня).

В случае симметричной невырожденной матрицы есть возможность провести факторизацию более эффективно. В частности симметричную матрицу можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы и транспонированной ей матрицы :

. (2.12)

Разложение (2.12) аналогично разложению, поскольку является верхней треугольной матрицей. Однако в отличие от разложения факторизация Холецкого реализуется за меньшее число арифметических действий и не требует дополнительных ресурсов памяти для хранения матрицы .

Элементы матрицы находятся непосредственно из уравнения (2.12) из которого согласно определению матричного умножения следует

. (2.13)

Заметим, что в скалярном произведении -ой строки матрицы на -й столбец матрицы суммирование в (2.13) ведется не по всем компонентам векторов, а только для их ненулевых значений. В силу этого из равенства (2.13) для

, (2.14))

В случае из равенства (2.13) следует

, . (2.15)

Для из равенства (2.13) имеем

, (2.16)

.

Формулы (2.14)-(2.16) дают явные рекуррентные выражения для элементов матрицы . Применимость описанного алгоритма помимо симметричности матрицы ограничена также требованием положительности величин , стоящих под знаком квадратного корня в формулах (1.14), (1.15). Данное требование всегда выполняется для положительно определенных матриц и матриц с диагональным преобладанием.

Подсчеты вычислительных затрат на реализацию алгоритма факторизации Холецкого позволяют определить, что вычислительная сложность данного метода для не разреженных матриц имеет порядок , т.е. сравнима с вычислительными затратами при разложении. Более тщательное сравнение этих методов факторизации показывает, что на вычисление элементов матрицы в методе Холецкого требуется примерно в два раза меньше арифметических операций, чем при разложении.

После выполнения разложения Холецкого, как и в случае разложения, задача решения системы линейных алгебраических уравнений сводится к последовательному решению двух систем с матрицами треугольного вида: .

2.5 Число обусловленности матрицы и оценки погрешности решения систем линейных алгебраических уравнений.

Компьютерные вычисления являются приближенными в силу того, что действительные числа представляются конечным числом десятичных разрядов. Относительная погрешность представления действительных чисел в формате double составляет приблизительно . Естественно, что и результат арифметических операций с такими числами также будет приближенным. При решении систем линейных алгебраических уравнений число арифметических операций по порядку величины составляет величину . В силу этого анализ ошибки каждой из операций представляется практически не осуществимой задачей. По этой причине для оценки погрешности используют подход, получивший название метод обратного распространения ошибки. Суть данного метода состоит не в подсчете реальной погрешности вычисленного решения, а в выяснении того факта какая задача решена фактически. Например, пусть при решении задачи получено приближенное решение , с неизвестной погрешностью . Подстановка полученного решения в исходное уравнение показывает, что появление погрешности можно связать с возмущениями правой части задачи

.

Таким образом, в условиях приближенности вычислений вместо исходной системы уравнений фактически решается некоторая возмущенная задача, точное решение которой и является приближенным решением, полученным в процессе вычислений. Рассмотрим, как возмущения правой части системы ЛАУ связаны с погрешностью ее решения при условии, что все промежуточные вычисления выполняются точно.

Итак, пусть правая часть системы возмущена – задана с абсолютной погрешностью . В силу этого фактически вместо задачи мы решаем возмущенную задачу

. (2.17)

где – абсолютная погрешность решения, ассоциированная с возмущением правой части. Погрешность является решением следующей задачи:

. (2.18)

Несложные преобразования позволяют получить из уравнения (2.18) оценку нормы абсолютной величины погрешности:

. (2.19)

Заметим, что последнее неравенство (2.19) выражает устойчивость решения по правой части, и (согласно условию (1.15)) требование устойчивости эквивалентно требованию ограниченности нормы обратной матрицы системы ЛАУ. Из постановки задачи имеем

. (2.20)

Из неравенств (2.19) и (2.20) следует оценка относительной погрешности возмущенной задачи:

. (2.21))

Оценка (2.21) выражает зависимость относительной погрешности решения возмущенной задачи от относительной величины возмущения правой части в произвольной норме векторного пространства. В частности, согласно (2.21), погрешность возмущенной задачи пропорционально возрастает с ростом возмущений правой части, причем коэффициент пропорциональности определяется произведением норм матриц и . Число

, (2.22)

характеризующее зависимость относительной погрешности решения системы ЛАУ от величины относительного возмущения правой части, называется числом обусловленности матрицы. Если число обусловленности матрицы велико, то говорят, что данная матрица плохо обусловлена. Если число обусловленности близко к единице, то матрица считается хорошо обусловленной. Обычно для оценки числа обусловленности используется спектральная норма матриц, которая является подчиненной для евклидовой векторной нормы. Для симметричных матриц число обусловленности определяется отношением модулей наибольшего и наименьшего собственного значения матрицы.

Плохая обусловленность матрицы системы ЛАУ характеризует сильную чувствительность решения задачи к погрешности входных данных (малая ошибка входных данных приводит к существенному изменению решения). Аналогичным образом плохо обусловленные системы ЛАУ реагируют и на погрешности промежуточных вычислений. Так, например, в процессе приведения матрицы системы к треугольному виду выполняется ряд преобразований ее коэффициентов. В итоге, на этапе обратного хода метода Гаусса решается задача с возмущенными коэффициентами матрицы и полная оценка относительной погрешности должна исходить из следующей возмущенной задачи:

. , (2.23)

Если матрица возмущенной задачи (2.23) не вырожденная, то возмущения коэффициентов матрицы могут быть соотнесены с возмущениями правой части и вместо задачи (2.23) достаточно рассмотреть задачу

, (2.24)

для которой имеет место оценка (2.21). На практике величина может быть вычислена на основе полученного приближенного решения задачи :

. (2.25)

Вектор принято называть невязкой решения системы ЛАУ. Норма данного вектора на практике служит количественной мерой возмущения правой части задачи и используется для оценки погрешности приближенного решения.

Оценки числа обусловленности матриц требуют вычисления обратной матрицы или, по крайней мере, оценки максимального и минимального собственных значений в случае симметричных матриц. В силу этого практическая оценка фактической точности приближенного решения системы ЛАУ согласно неравенству (2.21) представляет собой сложную задачу. Тем не менее, для ряда практически значимых случаев оценка (2.21) представляется полезной в плане контроля точности вычислений.

Упражнения

1. Доказать, что число обусловленности матрицы не меньше единицы