1 Методы решения задач о раскрое

В настоящее время известен ряд работ по раскрою, в которых обычно используется метод индексов Л.В. Канторовича и симплекс-метод Д. Данцига или его модификации. Этими методами пользуются, чтобы найти оптимальный план раскроя, когда известны все возможные его варианты. Следует отметить, что работа по составлению всех раскроев (особенно когда число различных заготовок и исходного проката велико) трудоёмка и продолжительна – в итоге получается линейная задача с большим числом неизвестных, решение которой возможно только с использованием ЭВМ.

Решение задач раскроя линейных материалов без составления всех исходных вариантов с использованием методов динамического программирования было получено П. Гилмором и Р. Гомори. Идея предполагаемого способа близка к идее метода разложения Д. Данцига и Ф. Вульфа. Она заключается в том, что после каждого шага симплекс-метода для выявления метода улучшения раскроя решается небольшая вспомогательная задача. В данном случае она оказывается задачей «о ранце» и для её решения применяются методы диагностического программирования.

Задача о раскрое формулируется следующим образом.

Необходимо из листа проката размером M*N выкроить заготовки площадью m*n в заданном количестве p_i(i=1,2,…,k). Требуется определить оптимальный план раскроя листа, т.е. получить минимальные отходы с учётом комплектности заготовок. Показателем, определяющим экономичность раскроя, является коэффициент раскроя, рассчитываемый по формуле:

, где

m_i- длина i-й заготовки, мм.;

n_i– ширина i-й заготовки, мм.;

M,N – соответственно длина и ширина исходного листа.

Когда требуется определить оптимальный план раскроя листового проката, прежде всего определяются коэффициенты раскроя K_p, которыми характеризуется экономичность раскроя. Этот коэффициент представляет собой отношение площади заготовок к площади листа и рассчитывается по формуле.

При создании математической модели задачи раскроя необходимо учитывать ряд требований, связанных с производством: число заготовок, полученных по определённым раскроям, должно соответствовать установленной производственной программе; общее количество материалов, израсходованных на выполнение производственной программы, или величина отходов, полученных от раскроя по выбранным вариантам должны быть наименьшими; при этом в обоих случаях получаемые решения будут равноценными.

Варианты раскроя образуются путём комбинирования различных заготовок во всех возможных сочетаниях. При таком комбинировании даже при незначительном увеличении числа видов заготовок характерен быстрый рост числа возможных сочетаний, т.е. возможных вариантов раскроя. С увеличением числа вариантов раскроя сильно увеличивается размерность задачи линейного программирования, что приводит к резкому возрастанию общего времени решения задачи на ЭВМ.

Для сокращения времени решения задачи на ЭВМ искусственно вводится число вариантов раскроя. Это приводит к тому, что набор вариантов выбирается из меньшего числа и уже не даёт уверенности в том, что найден действительно самый лучший вариант раскроя.

Кроме симплекс-метода существует также эвристический метод решения задач о раскрое материалов. Эвристические методы являются методами решения задач, построенными на использовании правил, приёмов, упрощений, обобщающих прошлый опыт решающего. Эвристическое рассуждение – предварительное правдоподобное рассуждение, направленное на поиск решения задач определённого класса. Эвристические рассуждения и методы строятся на использовании аналогии отдельных практических приёмов специалиста (технолога, плановика, диспетчера и др.) и на логическом умозаключении от частных, единичных случаев к обобщениям.

Важно знать, что эвристические методы учитывают необходимые технологические ограничения, порождаемые главным образом особенностями холодноштамповочного производства деталей, они требуют минимального времени просчёта задач на ЭВМ при достаточно высоком коэффициенте раскроя.