57 Знакочередующийся ряд
Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:
Признак Лейбница
Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов
Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:
-
Пусть для знакочередующегося ряда
выполняются следующие условия:
(монотонное
убывание {an})
.
Тогда этот ряд сходится.
Если, выполнены все условия,
и ряд из модулей (
)
сходится, то исходный ряд сходится
абсолютно. Если
выполнены все условия, но ряд из модулей
расходится, то исходный ряд сходится
условно. Строгая
положительность 
существенна.
Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.
Пример
.
Ряд из модулей имеет вид 
—
это гармонический
ряд, который
расходится.
Теперь воспользуемся признаком Лейбница:
знакочередование выполнено
.
Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.
Оценка остатка ряда Лейбница
Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена ряда. Поскольку любой остаток ряда rn является также рядом Лейбница, то для него справедливо:
.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость |
|
Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда являетсязнакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Признак Лейбница Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что 1. an+1 < an для
всех n;
2. Тогда
знакочередующиеся ряды Абсолютная и условная сходимость Ряд |
.
и 
сходятся.
называется абсолютно
сходящимся,
если ряд 
также
сходится.
Если
ряд
сходится
абсолютно, то он является сходящимся
(в обычном смысле). Обратное утверждение
неверно.
Ряд
называется условно
сходящимся,
если сам он сходится, а ряд, составленный
из модулей его членов, расходится.
57
Функциональный
ряд —
ряд, каждым членом которого, в отличие
от числового
ряда,
является не число, а функция 
.
Функциональный ряд
—
n-ная частичная сумма.
58 Степенной ряд
Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:
В котором коэффициенты берутся из некоторого кольца . Признаки сходимости
Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.
Первая теорема Абеля: Пусть ряд
сходится
в точке 
.
Тогда этот ряд сходится абсолютно в
круге 
и
равномерно по
на
любом компактном
подмножестве этого
круга.
Обращая
эту теорему, получаем, что если степенной
ряд расходится при 
,
он расходится при всех
,
таких что 
.
Из первой теоремы Абеля также следует,
что существует такой радиус
круга
(возможно,
нулевой или бесконечный), что при 
ряд
сходится абсолютно (и равномерно по
на
компактных подмножествах круга
),
а при 
—
расходится. Это значение
называется
радиусом сходимости ряда, а круг
—
кругом сходимости.
Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он сходится равномерно по на отрезке, соединяющем точки 0 и .
59 Радиус
сходимости степенного ряда. Так
называют радиус круга сходимостистепенного
ряда 
на
комплексной плоскости (или степенного
ряда 
на
действительной числовой оси), т.е. такое
число r,
что ряд сходится при |z|
< r (соответственно
при |x|
< r)
и расходится при |z|
> r (соответственно
при |x|
> r).
На границе круга сходимости ряд может
как сходиться, так и расходиться.
Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда имеются несколько формул, например:
(Формула
Даламбера);
(Формула
Коши).
60
МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА
- частный случай Тейлора формулы. Пусть функция f(x)имеет ппроизводных в точке x=0. Тогда в нек-рой окрестности Uэтой точки функцию f(x).можно представить в виде
61 Разложить
в ряд Маклорена функцию 
Решение. Производные этой функции совпадают с самой функцией:
Поэтому при х = 0 имеем
Подставляя эти значения в формулу (32), получим искомое разложение:
(33)
Этот
ряд сходится на всей числовой прямой
(его радиус сходимости 
).
Пример 25. Разложить в ряд Маклорена функции: 1) f(x) = sin x; 2) f(x) = cos x.
Решение.
1)Находим производные функции f(x) = sin x; имеем
Так как производная четвёртого порядка совпадает с функцией, то производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Найдём значения функции и её производных при х = 0:
Поэтому ряд Маклорена для f(x) = sin x имеет вид
(34)
2) Находим
производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Далее, имеем
В результате получаем следующее разложение функции f(x) = cos x в ряд Маклорена:
