Требования к уровню освоения содержания дисциплины в результате изучения дисциплины «Теория алгоритмов» студенты должны

• владеть и свободно ориентировать терминологией теории алгоритмов;

• владеть интуитивным понятием вычислимой функции;

• владеть понятиями перечислимого и рекурсивного множества;

• знать определения разрешимого и перечислимого множества;

• знать понятие рекурсии, рекурсивной функции, оператора минимизации;

• знать понятие алгоритмической неразрешимости; формулировку и доказательство теоремы о проблеме остановки;

• знать требования к алгоритмам, определение и принцип функционирования машины Тьюринга;

• знать основы теории алгоритмов и получить практические навыки по выявлению алгоритмически неразрешимых, легко и трудно разрешимых проблем, оценки мер сложности алгоритмов;

• уметь пользоваться тезисом Черча;

• уметь доказывать невычислимость арифметических функций;

• уметь строить простые машины Тьюринга и описывать протоколы их работы для конкретных данных;

• иметь представление об операциях над машинами Тьюринга;

• иметь представление об актуальных задачах теории вычислимости.

Методические указания к изучению дисциплины

Понятие разрешимости тех или иных задач связаны с понятием алгоритма. Интуитивное представление об алгоритме как о формальном предписании, которое определяет совокупность операций и порядок их выполнения для решения задач какого-либо типа, существует в математике с давних времен. Под алгоритмом обычно понимается точное предписание, определяющее детерминированный и результативный процесс решения множества задач данного класса (массовость алгоритма).

Математика накопила большое число алгоритмов для решения разнообразных задач. В то же время попытки решения задач натолкнулись на трудности, которые не удалось преодолеть. Возникла необходимость доказать существование алгоритма (алгоритмическую разрешимость) или принципиальную невозможность построения алгоритма (алгоритмическую неразрешимость) для ряда важных задач.

Для устранения нечеткости интуитивного понятия алгоритма были предложены точные математические модели алгоритма: машина Тьюринга, система рекурсивных функций Клини, нормальный алгоритм А.А. Маркова. А. Черч впервые обосновал положение о том, что все уточнения понятия эквивалентны («тезис Черча»), т.е. правильно отражают интуитивное представление об алгоритмах, сложившееся в математике.

С помощью этих моделей алгоритма доказана алгоритмическая неразрешимость ряда важных задач математики и вычислительной техники и, в частности, неразрешимость проблемы остановки универсальной вычислительной машины, реализующей любой алгоритм. Например, из алгоритмической неразрешимости проблемы остановки следует важный практический вывод: невозможно создать универсальную отладочную программу для обнаружения возможности зацикливания отлаживаемой программы.

Алгоритмическая неразрешимость некоторой задачи означает, что не существует общего алгоритма, решающую любую задачу рассматриваемого класса, однако для отдельных подклассов алгоритмически неразрешимой задачи может существовать алгоритм.