Вопросы к экзамену по курсу «Теория алгоритмов»

1. Алгоритмы. Основные требования к алгоритмам.

2. Вычислимые функции. Разрешимые и перечислимые множества.

3. Пересечение и объединение перечислимых множеств.

4. Теорема Поста.

5. График вычислимой функции.

6. Диагональный метод. Пример перечислимого неразрешимого множества.

7. Примитивно рекурсивные функции. Операторы суперпозиции и примитивной рекурсии.

8. Частично рекурсивные и общерекурсивные функции. Оператор минимизации и ограниченный оператор минимизации.

9. Примитивно рекурсивные предикаты и множества. Ограниченные кванторы.

10. Задание машины Тьюринга. Принцип машины Тьюринга.

11. Представление машины Тьюринга графом. Вычислимые по Тьюрингу функции.

12. Операции над машинами Тьюринга. Основная гипотеза теории алгоритмов (тезис Черча)

13. Нормальные алгоритмы Маркова. Функции вычислимые по Маркову.

14. Замыкание, распространение нормального алгоритма.

15. Операции над нормальными алгоритмами.

16. Машина с неограниченными регистрами (МНР). МНР-вычислимость частично рекурсивных функций.

17. Соединение программ. Реализация подстановки на МНР.

18. Реализация рекурсии и минимизации на МНР.

19. Нумерация наборов чисел и слов. Канторовская нумерация. Геделев номер.

20. Вычислимость по Тьюрингу частично рекурсивных функций.

21. Теорема о параметризации.

22. Универсальные функции Клини. Нумерация Клини и Поста.

23. Нумерации алгоритмов. Нумерация машин Тьюринга.

24. Нумерация МНР-программ. Универсальные функции.

25. Алгоритмически неразрешимые проблемы. Проблема самоприменимости и останова.

26. Рекурсивное множество. Теорема Райса.

27. Алгоритмическая сводимость проблем.

28. Примеры неразрешимых и неперечислимых множеств.

Список литературы

1. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. - М.: Наука, 1986. 367с.

2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. - М.: Наука, 1974. 320с.

3. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М.: Наука, 1976. 320с.

4. Новиков П.С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973. 400с.

Дополнительная литература

1. Грехем Р., Кнут Д., Латашник О. Конкретная математика. - М.: Мир, 2000. 793с

2. Ершов Ю.Л. Определимость и вычислимость. - Новосибирск: Научная книга, 1996. 315с.

3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - М.: Наука, 1975. 224с.

4. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика (с упражнениями и решениями). - М.: Мир, 1999. 720с.

5. Успенский В.А. Лекции о вычислимых функциях. - М.: Наука, 1960. 492с.

3