15. Двойственность в линейном программировании

С экономической точки зрения двойственную задачу можно интерпретировать так: какова должна быть цена единицы каждого из ресурсов, чтобы при заданных количествах ресурсов bi и величинах стоимости единицы продукции Cj минимизировать общую стоимость затрат? А исходную задачу определим следующим, образом: сколько и какой продукции xj(j =1,2,…, n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях Cj (j=1,2,…, n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов bi(i=1,2,…, n) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении. Большинство задач линейного программирования изначально определяются как исходные или двойственные задачи. Сделав вывод можно говорить о паре двойственных задач линейного программирования.

Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования, состоящей, как мы уже знаем, в нахождении максимального значения функции:

F=c1x1+c2x2+…cnxn

при условиях

Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:

1. Целевая функция исходной задачи задается на максимум, а целевая функция двойственной на минимум.

2. Матрица

составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица

в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием (т.е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками).

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в системе исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе исходной задачи, а правыми частями в соотношениях системы двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи.

5. Если переменная xj исходной задачи может принимать только лишь положительные значения, то j-е условие в системе двойственной задачи является неравенством вида «>». Если же переменная xj может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то 1 – соотношение в системе представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями исходной задачи и переменными двойственной задачи. Если i – соотношение в системе исходной задачи является неравенством, то i-я переменная двойственной задачи . В противном случае переменная уj может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения прямой задачи и соотношения двойственной задачи являются неравенствами вида « «. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.

Двойственная задача тесно связана задачей линейного программирования. Задача первоначальная называется исходной. Решение двойственной задачи может быть получено из решения исходной и наоборот. Связующим фактом этих двух задач являются коэффициенты Cj функции исходной задачи. Данные коэффициенты называются свободными членами системы ограничений двойственной задачи. Коэффициенты Bi системы ограничений исходной задачи называются коэффициентами двойственной задачи. Транспонированная матрица коэффициентов системы ограничений исходной задачи является матрицей коэффициентов системы ограничений двойственной задачи.

Несимметричные двойственные задачи

Теорема двойственности:

Система ограничений исходной задачи в несимметричных двойственных задачах определяется как равенство. Двойственная же задача задается, как неравенство, причем переменные могут быть и отрицательными. Что бы проще понимать постановку задачи будем интерпретировать ее в матричной форме.

Теорема 2. Для пары двойственных задач имеет место соотношение

.

Доказательство.

Мы докажем эту теорему только для несимметричной пары двойственных задач, причем это доказательство не является строгим.

Итак, рассмотрим исходную задачу линейного программирования

Представим себе, что мы решаем эту задачу при помощи симплекс-метода. Рассмотрим окончательный вид симплекс-таблицы. Не теряя общности, можно считать, что в окончательный базис вошли векторы ( в конце концов, векторы всегда можно перенумеровать). Тогда окончательная симплекс-таблица имеет вид

и оптимальный план имеет вид .

Обозначим через

вектор и через B матрицу

,

то есть  матрица, составленная из базисных векторов .

Так как

, то для

мы получаем уравнение

, откуда .

Далее, так как в первых m столбцах матрицы D

стоит единичная

матрица,то легко догадаться, что ,

откуда .

Пусть  вектор коэффициентов целевой функции и . Пусть далее  векторы, соответствующие

столбцам матрицы . Вспоминая выражения для

легко получить, что

,

то есть для всех j верно неравенство . В векторной форме это выглядит так

.

Получив основные соотношения для оптимального плана исходной задачи, перейдем теперь к двойственной задачею Для этого рассмотрим вектор , определяемый соотношением

.

Для него мы имеем:

,

то есть вектор удовлетворяет ограничениям двойственной задачи. Но для него

.

В силу следствия 2 теоремы 1 является оптимальным планом двойственной задачи, а так как выполнено соотношение , то это и означает, что

.

Теорема доказана.

Блок 1

1)Линейное программирование.Задача использования сырья.Обобщение задачи использования сырья.

2)Задача составления рациона.Обобщение задачи составления рациона.

3)Замена неравенства уравнениями.Теорема 1

4)Переход к равенствам в задаче использования сырья и задачи составления рациона.

5)Общая задача линейного программирования.Три формы записи.определения.

6)Выпуклые множества.Определения.

7)Теорема 2

8)Теорема 3

9)Теорема 4

10)Симплексный метод.построение опорных планов.

11) Симплексный метод.Отыскание оптимального плана.Условие оптимальности.Теорема 5

12) Симплексный метод.Отыскание оптимального плана.Условие оптимальности.Теорема 6

13)Симплексный метод.Метод исскуственного базиса.Теорема.

14) Симплексный метод.Задача со смешанными ограничениями.

15)Двойственность в линейном программировании.Несимметричные двойственные задачи.Теорема.

Блок2

1)Вариационное исчисление.введение.Задача о брахистохроне.

2)Простейшая задача вариационного исчисления.Определения.

3)Необходимые условия слабого локального минимума.Теорема.

4)Основная лемма вариационного исчисления.Лемма Ланранжа.Уравнение Эйлера.Теорема.

5)Лемма Дюбуа-Реймонда.Примеры Гильберта и Вайерштрасса.

6)Задача Больца.Теорема 1

7)Необходимые условия Вейерштрасса.Теорема 2

8)Условие Лежандра.Теорема 1

9)Условие Якоби.Теорема 2

10)Функционалы зависящие от n неизвестных функций.Теорема 3

11) Функционалы зависящие от производных высших порядков.Теорема 4

12)Изопереметрическая задача. Теорема 1

13) Изопереметрическая задача в общем случае(от n переменных) Теорема 2.

14)Условный экстремум.Задача Лагранжа.Теорема 3.

15)Обобщение задача на условный экстремум.Функционал Лагранжа.Теорема4.