14)Симплексный метод.Задача со смешанными ограничениями.

Рассмотрим на примере

Zmin=C1X1+C2X2+….+CnXn

A11X1+A12X2+…..+A1nXn-Xn+1<=B1

A21X1+A22X2+…..+A2nXn-Xn+2<=B2

………………………………………….

Ak1X1+…..+AknXn <=Bk

Ak+11X1+…..+Ak+1nXn <=Bk+1

Am1X1+Am2X2+…..+AmnXn =Bm Xj>=0;

Система ограничений состоит из ‘k’-неравенств и “m-k” уравнений .Базис такой задачи состоит из дополнительных и искусственных .Пусть система ограничений состоит из d-уравнений .Тогда для получения X0 ее можно преобразовать так, что нужно включить не более d-исскуственных переменных.Если система содержит ‘k’-неравенств вида Ax<=A0, то утверждение очевидно.

Пусть система содержит ‘k’-неравенств вида Ax>=A0, тогда с помощью дополнительных переменных преобразовываем неравенство в равенство Ax-x’=A0, где x’ =(Xn+1,…,Xn+k), т.е система содержит ‘k’ отриц ед-х векторов.

Для этого возьмем i-e уравнения со свободным членом Bi>0, каждое неравенство разделим на производные “+” число так, чтобы его свободные члены были > чем Bi.

Перейдем от неравенства к равенствам ;и почленно вычтем из i-го уравнения.

Example:

Zmin=-X1-2X2+X3

⌠-X1+4X2-2X3<=6

│X1+X2+2X3>=6 :2, если Xj>=0 (j=1,2,3)

⌡2X1-X2+2X3=4

-X1+4X2-2X3+X4=6 -дополнительный X4

X1+X2+2X3-X5+X6=6 искуственный X5 чтоб получить ед вектор

2X1-X2+2X3+X7=4

-X1-2X2+X3+0*X4+0*X5+M*X6+M*X7 A1=(-1, -3/2, 2)

1)1/2X1+1/2X2+X3>=3

2)1/2X1+1/2X2+X3-X5=3 (3-2)

3)3/2X1-3/2X2+X3+X5=1 вместо неравенства (2) запишем

⌠-X1+4X2-2X3+X4=6 дополнительный X6

│3/2X1-3/2X2+X3+X5=1 дополнительный X5

⌡2X1-X2+2X3+X6=4 искуственный X6

Если в данной задаче следовать от неравенства к равенству , необходимо ввести 2 искусственных переменных .Для того чтобы кол-во исскуственных , разделим 2-ое неравенства на 2 и вычтем из 3-го ограничения .Затем введем в 3-е ограничение исскуственные переменные .То задача принимает вид системы

i	баз	с баз	A0	C1=-1	C2=-2	C3=1	C4=0	C5=0	C6=M
				A1	A2	A3	A4	A5	A6
1	A4	0	6	-1	4	-2	1	0	0
2	A5	0	1	1,5	-1.5	1	0	1	0
3	A6	M	4	2	-1	2	0	0	1
m+1	Zj-Cj		0	1	2	-1	0	0	0
m+2			4	2	-1	2	0	0	0

Z(x)=Сб*Z(X0)=(-1,2,1,0,0,M)*(0,0,0,6,1,4)=4M+0

Z1(x)=Сб*Z(X0)=(-1,-2,1,0,0,M)*(0,0,0,-1,3\2,2)=2M

Z1-C1=2M+1;

Ɵ1=min(2\3,2)=2\3; Ɵmax(2\3*2;1*2)=max(4\3;2)=2

Ɵ3=min(1,2)=1

Включаем A3, исключаем A5

i	баз	с баз	A0	C1=-1	C2=-2	C3=1	C4=0	C5=0	C6=M
				A1	A2	A3	A4	A5	A6
1	A4	0	8	2	1	0	1	2	0
2	A3	1	1	1,5	-1.5	1	0	1	0
3	A6	M	2	-1	2	0	0	-2	1
m+1	Zj-Cj		1	2.5	1\2	0	0	1	0
m+2			2	-1	2	0	0	-2	0

Ɵ2=min(8;1)=1

i	баз	с баз	A0	C1=-1	C2=-2	C3=1	C4=0	C5=0	C6=M
				A1	A2	A3	A4	A5	A6
1	A4	0	7	5\2	0	0	1	3	-0.5
2	A3	1	2.5	3\4	0	1	0	-0.5	3\4
3	A2	-2	1	-0.5	1	0	0	-1	1\2
m+1	Zj-Cj		1\2	11\4	o	0	0	1,5	-0.25
m+2			0	0	0	0	0	0	-1

Ɵmin=(14/5;10/3)=14/5

i	баз	с баз	A0	C1=-1	C2=-2	C3=1	C4=0	C5=0	C6=M
				A1	A2	A3	A4	A5	A6
1	A1	-1	14\5	1	0	0	2\5	6\5	-0.2
2	A3	1	2\5	o	0	1	-0.3	-1.1	9\10
3	A2	-2	12\5	o	1	0	1\5	-0.4	2\5
m+1	Zj-Cj		-7.2	o	o	0	-1.1	(-1.4)	3\10
m+2					0	0	0	0	-1

X₀³ =(-1;-2;1) Z (X₀³)=-36/5

Проверим:-14/5+2/5-24/5=-14+2-24/5=-36/5

Ответ: -36/5