10. Построение опорного плана

Пусть необходимо решить задачу: , Введем дополнительные переменные, чтобы преобразовать ограничения-неравенства к равенствам. В ограничениях-равенствах дополнительные переменные должны быть нулевыми. Тогда система ограничений принимает вид: где x_n+i ≥ 0, i=1,...,p.   В качестве базисных переменных будем брать систему дополнительно введенных переменных. Тогда симплексная таблица для преобразованной задачи будет иметь следующий вид:

Правила выбора разрешающего элемента при поиске опорного плана. 1.При условии отсутствия "0-строк" (ограничений-равенств) и "свободных" переменных (т.е. переменных, на которые не наложено требование неотрицательности).

• Если в столбце свободных членов симплексной таблицы нет отрицательных элементов, то опорный план найден.

• Есть отрицательные элементы в столбце свободных членов, например b_i<0. В такой строке ищем отрицательный коэффициент a_il, и этим самым определяем разрешающий столбец l. Если не найдем отрицательный a_il, то система ограничений несовместна (противоречива).

• В качестве разрешающей выбираем строку, которой соответствует минимальное отношение: , где r - номер разрешающей строки. Таким образом, a_rl - разрешающий элемент.

• После того, как разрешающий элемент найден, делаем шаг модифицированного жорданова исключения с направляющим элементом a_rl и переходим к следующей симплексной таблице.

  2. В случае присутствия ограничений-равенств и "свободных" переменных поступают следующим образом.

• Выбирают разрешающий элемент в "0-строке" и делают шаг модифицированного жорданова исключения, после чего вычеркивают этот разрешающий столбец. Данную последовательность действий продолжают до тех пор, пока в симплексной таблице остается хотя бы одна "0-строка" (при этом таблица сокращается).

• Если же присутствуют и свободные переменные, то необходимо данные переменные сделать базисными. И после того, как свободная переменная станет базисной, в процессе определения разрешающего элемента при поиске опорного и оптимального планов данная строка не учитывается (но преобразуется).

 

11.12.Симплексный метод. Отыскание оптимального плана. Условие оптимальности. Теорема 5.

Каждой угловой точке многогранника решений соответствует опорный план. Каждый опорный план определяется системой m-линейно-независимых векторов.

Симплекс метод позволяет исходя из известного опорного плана перейти к оптимальному плану.

Пункт 1- построение опорных планов.

Найти минимальное значение линейной функции.

Z=C1X1+….+CnXn при ограничениях (1)

a11*X1+….a1n*Xn=b1

….. (2)

am1*X1+…anm*Xn=bm

Предположим, что система ограничений содержит m единичных первых векторов, т.е

X1+…+a1,m+1*Xm+1+…+am1*Xn=b1

X2+…+a2,m+1*Xm+1+…+am2*Xn=b2

Xm+…+am,m+1*Xm+1+…+amn*Xn=bm

Xj≥0 j=1.n

Запишем в векторном виде:

X1A1+X2A2+…+XnAn+Xm+1Am+1+…+XnAn=A0 (4)

Где А1=(1,0,…0), А1=(0,1,…0), Аm(0…1),

am+1= (a1,m+1 a2,+1 an, m+1)

A0=(b1,b2…bm)

А1,А2…Аm- Линейно-независимые векторы m-мерного пространства, они образуют базис пространства, поэтому в разложении (4) за базисное неизвестное выбираем Х1,Х2…Хn , свободные неизвестные приравниваем к нулю, учитывая bi ≥0, а вектор А1,А2,…,Am-единичный, получаем первоначальный план

Х0=(X1=b1, X2=b2,…,Xn=bn, Xnm=0, Xn=0) (5)

Плану (5) соответствует разложение

X1A1+…+XnAn=A0 (6)

Вектор А1, …,Аm-линейно-независимый план , следовательно план (5) – опорный .

Вектор А1, …,Аm образуют базис в m-мерном пространстве, поэтому каждый из n-векторов в соотношении (4) можно разложить по векторам базиса единственным образом.

Aj= Ai

Предположим, что для некоторого вектора , не входящего в базис , например, для вектора Аm+1 положителен хотя бы 1 из коэффициентов Xi,m+1 в разложении (7)

Х1, m+1*A1+ Х2, m+1*A2+…+Xm,m+1Am=Am+1 (7)

Зададим некоторое число θ>0 (пока неизвестно) умножим на него обе части равенства (7) и вычтем результат почленно из равенства (6)

Получаем:

(X1-θX1,m+1)A1+(X2-θX2,m+1)A2+…+(Xm-θXm,m+1)Am+θAm+1=A0 (8)

X1=(X1-θX1,m+1;……; Xm-θXm,m+1; θ; 0,….0)

Вектор Х1 является планом задач , если все его компоненты неотрицательны, следовательно необходимо найти θ чтобы (Хi-θXi,m+1)≥0

Получаем θ≤ следовательно вектор Х1- план задачи для любого θ удовлетворяет условие :

0<θ<min (10)

Где min берется по I для которого Xi,m+1>0

Опорный план не может содержать m+1положительный компонент, поэтому компонент, поэтому в плане Х1 необходимо обнулить по кратней мере 1 компоненту .

Пусть в (10) θ= θ0=min (11)

Компонента , для которой достигается min обращается в 0.

Для определения опорного плана необходимо любой вектор не входящий в базис А2, А3,…Аm, Am+1 разложить по векторам этого базиса. После определить такое θ0>0 при котором исключался бы 1 из векторов этого базиса.