7. Теорема 2 ( о замкнутом, ограниченном, выпуклом многограннике)

Th. Замкнутый ограниченный выпуклый многогранник является выпуклым множеством комбинаций своих угловых точек.

Док-во: Рассмотрим многоугольник имеющий n вершин. Докажем, что для любая точка треугольника удовлетворяет теореме 2.

А 1 А2

А4

А3

В ∆ А1А2А3 возьмем производную точку А и через нее проведем отрезок . Так как А€ , то она выпуклая линейная комбинация ее концов

А4=λ1А1+ λ4А4, где λ1 0 , λ4 0

λ1+ λ4=1 (1)

Т очка А4€ точка А4-выпуклая линейная комбинация ее концов.

А4=λ2А2+ λ3А3 +…+ λ2+λ3 =1 (2)

Представляем (2) в (1)

Получаем: А= λ1А1+ λ4(λ2А2+ λ3А3)= λ1А1+ λ4λ2А2+ λ4λ3А3

λ1=t1; λ4 λ2= t2; λ4 λ3= t3;

А= t1А1+ t2А2+ t3А3; t1+ t2+ t3=1; t1≥0; t2≥0; t3≥0

Т.е А является выпуклой линейной комбинацией точек. Рассмотрим многоугольник , имеющий n>3 вершин. С помощью диагонали разобьем многоугольник n-2 ∆ тогда точка А попадает в 1 из треугольников для определенности возьмем ∆ А1А2А3

А= λ1А1+ λ2А2+ λ3А3 ; λ1+ λ2+ λ3=1

Добавим остальные вершины умноженные на нуль

А= λ1А1+ λ2А2+ λ3А3+0А4+…+Аn

То есть точка А выпуклая линейная комбинация угловых точек множества.

8. Теорема 3.

Множество всех планов задачи линейного программирования выпукло.

Док-во. Докажем, что если x₁ и x₂ планы задачи линейного программирования a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n≤b (1); a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n +x _n+1=b (2), то их выпуклая линейная комбинация x=λ₁x₁ + λ₂x₂ , λ₁≥0, λ₂≥0, λ₁+ λ₂=1явл-ся планом задачи лин. программирования.

Т.к. x₁ и x₂ планы задачи, то выполняются соотношения:

Ax₁=A0, x₁≥0

Ax₂=A0, x₂≥0, тогда Ax=A(λ₁x₁ + λ₂x₂) =Aλ₁x₁ + Aλ₂x₂=λ₁A0 + λ₂A0= A0(λ₁ + λ₂)=A0 => что план x удовлетворяет соотнош. (2) т.к. λ₁≥0, λ₂≥0, x₁, x₂≥0 => x-план задачи линейного программирования. Ч.т.д.

9)Теорема 4(о достижении минимального значения в угловой точке).Примечание: здесь L=лямбда.

Линейная функция задачи линейного программирования достигает min значения в угловой точке многовариантного решения.Если линейные функции задачи линейного программирования принимают min значение более чем в одной угловой точке , то она достигает того же значения в любой точке, является выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Докозательство:Пусть оптимальный план X0-не является угловой точкой .Тогда по Теореме 2 X0 можно представить X0=L1X1+…+LpXp;

Li>=(i=1,p) ; ∑^p_i=0Li=1;

Так как Z(x)-линейная функция, получаем Z(X0)=Z(L1X1+….+LpXp)=L1Z(X1)+L2Z(X2)+…..+LpZ(Xp) (1)

Среди Z(Xi) (i=1,p) выберим наименьшее значение . Оно соответствует угловой точке Xk, (k=1,p) и обозначим его через m, т.е Z(Xk)=m.

Заменим в уравнение (1) каждое значение Z(Xi) этим наименьшим значением Z(X0)>=L1m+L2M+….+Lpm=m∑^p_i=0Li=m;

По предложению X0-оптимальный план; поэтому Z(X0)<=m , но по даказательству Z(X0) >=m и Z(X0)=m=Z(Xn); где Xn-угловая точка.

Итак, существует угловая точка в которой линейная линейная функция принимает min значение.

Для доказательства 2-ой части допустим, что Z(x) принимает min значение более чем в одной угловой точке.

Example:

X1,X2,….,Xq (q=1,p)

Тогда Z(X1) =Z(X2)=….=Z(Xq)=m

Если X-выпуклая линейная комбинация этих точек

X=L1X1+….+LqXq, то Z(x)=Z(L1X1,+…..+LqXq)=L1Z(X1)+…..+LqZ(Xq)=L1m+….+Lqm= m(∑^p_i=0Li)=m;

Т.е линейная функция Zmin в любой точке X , являющаяся выпуклой линейной комбинацией угловых точек .