1.Линейное программирование. Задача использования сырья. Обобщение задача использования сырья
Линейное программирование – это наука о методах исследования и отыскания наибольшего и наименьшего значений линейной функции на неизвестные которой наложены линейные ограничения.
Задача линейного программирования относится к задачам на условный экстремум функции, но применить хорошо разработанные методы математического анализа невозможно.
Пусть необходимо исследовать на экстремум линейную функцию Z.
Z=
при линейных ограничениях :
Так
как Z-
линейная функция, то 
=
(j=1,n)
Но
все коэффициенты линейной функции не
может быть = 0, следовательно внутри
области , образованный системой
ограничений, экстремальные точки 
.
Они могут быть на границе области, но
исследовать точки экстремума невозможно,
так как частные производные являются
константами.
Задача использования сырья
Для
изготовления двух видов продукции 
и 
используют 3 вида сырья:
-запасы;
– количество ед. сырья на изготовление
ед. продукции
-величина
прибыли, от реализации ед. продукции
Приведены в таблице1:
Вид сырья |
Запас сырья |
Количество ед. сырья на изготовление ед. продукции |
|
|
|
||
|
20 |
2 |
5 |
|
40 |
8 |
5 |
|
30 |
5 |
6 |
Прибыль от ед. продукции |
50 |
40 |
|
Необходимо составить план выпуска продукции , чтобы при реализации получить максимальную прибыль
-количество
продукции
-количество
продукции
Тогда учитывая количество ед. сырья , затрачиваемых на изготовление ед. продукции , а также запасы сырья получим систему ограничений:
+
20
+
40
+
30
Если
продукция
не выпускается, то 
=0,
в противном случае 
,
аналогично для переменной 
.т.е
для 
,
Цель задачи: Получить мах прибыли при реализации продукции
Суммарная прибыль:
Z=50
+40
mах
В условиях не оговорено неделимость ед. продукции , поэтому и (план выпуска продукции) может быть дробными числами , следовательно задача имеет бесконечное множество вариантов и
Построенная линейная функция называется функцией цели и совместно с системой ограничений образуют математическую модель , рассматриваемой эконом. задачей.
Обобщенная задача использования сырья.
Пусть при выпуске n видов продукции используют m видов сырья.
Обозначим
через 
-
виды сырья (i=1,n)
-запасы
сырья i-го
вида
-виды
продукции (j=1,n)
-
количество ед. i-го
сырья , идущего на изготовление j-той
продукции
-
величина прибыли ,получаемая от реализации
единицы j-той
продукции .
Пусть
-Количество
j-той
продукции , которую нужно произвести.
Такая математическая модель задачи
имеет вид:
Виды сырья |
Запасы сырья |
Количество ед. i-го сырья на изготовление ед. j-той продукции |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прибыль от ед. продукции |
|
|
|
|
|
Z=
+
+
+
max
+
+
+
+
+
+
+
+
+
,
( j=1,n)
(i=1.m)