8.Сеточный метод решения краевых задач.

Идея метода сеток для приближенного решения краевых задач для двухмерных ДУ заключается в следующем:

U(s)

1. В плоской области G, в которой ищется решение, строится сеточная область G_h, состоящая из одинаковых ячеек, приближающая данную область G.

2. Заданное ДУ заменяется соответствующим разностным уравнением.

3. На основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области G_h.

Выбор сеточной области зависит от конкретной задаче, но в любом случае её контур следует выбирать так, чтобы он наилучшим образом аппроксимировал контур заданной области. Сеточная область может состоять из клеток любой формы. От выбора основного размера клетки h зависит величина остаточного члена при замене ДУ на РУ.

.Рассмотрим прямоугольную сетку с

размерами h_x и h_y .

Для замены ДУ на РУ запишем производные через

разности:

если h_x=h_y,

если

9. Метод Монте-Карло решения краевых задач.

обл.G и принимает на ее границе Г заданные непрерывные значения u_s. В области G построим квадратную сетку с шагом h:

,граничные узлы сетки образуют ее границу .

Эта задача сводится к нахождению значений искомой функции во внутренних узлах сетки при условии, что значения в граничных узлах совпадают с заданными. Вероятность, что точка делает скачок: .

Метод заключается в N-кратном блуждании точки X до границы, при этом вычисляется значение случайной величины Y, мат. ож. которой равно решению U(X)

где X_sk- граничная точка, в которую попадает изображающая точка после k запуска.

Неизвестные определяются из системы линейных уравнений:

В качестве характеристики разброса значений можно использовать среднее квадратическое отклонение , которое в рассмотренном примере равно:

.

. N будет являться числом запусков. При известной и заданной оценке погрешности N легко находится. т.к. известны u_si , можно найти u_smin и u_smax . Тогда

u ₁-u₆ известны

, ,аналогично

10. Метод Ньютона уточнения корней многочлена.

В рисунке k заменить на n.

МН также называется методом касательных.

Имеем отрезок , которому принадлежит корень уравнения (обозначим его ). Проводим касательные, постепенно приближаясь к . Точку ( или ), из которой начинаем проводить касательные выбираем из условия:

Д ля 1:

Для 2:

Для 3:

Для 4:

Метод Ньютона определяется формулой:

,

Это формула получается, если в разложении

где - точное решение уравнения , отбросить последний член и заменить на :

На каждом отрезке должны не менять знаки, чтобы метод сходился.

Геометрическая интерпретация метода:

Участок кривой при , если (или при , если ), заменяется отрезком касательной, проведенной из точки .

Обобщим этот метод на случай комплексных корней:

Пусть ,

23