7. Методы Эйлера численного решения оду.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) называются ДУ с одной независимой переменной. Наиболее универсальными методами решения ОДУ являются численные. Их основной недостаток - возможность получения только частного решения.

Успех от применения численного метода сильно зависит от обусловленности задачи, т.е. задача должна быть хорошо обусловлена, а именно, малые изменения начальных условий должны приводить к малому изменению решения. В противном случае (слабой устойчивости) малые погрешности в начальных данных или погрешности численного метода могут приводить к большим погрешностям в решении.

Численным решением ОДУ является последовательность значений искомой функции для дискретных значений аргумента, следующих с постоянным шагом. В качестве меры погрешности численного решения ОДУ используются значения абсолютных отклонений получаемых решений от их точных значений. , где - точное, - машинное значение.

ДУ 2-го и более высокого порядка решаются в виде системы ДУ 1-го порядка. В простейшем случае одно такое уравнение для функции y, зависящей от аргумента x, и выражение для вычисления значения y на очередном шаге изменения x имеют вид:

где G – функция, определяемая из решаемого ДУ, n – номер шага, а h – величина шага . В конечном счете в зависимости от метода вычисления значения интеграла в выражении (1) различают соответственно и методы численного решения ДУ.

Известны 3 метода Эйлера. Первый из них, считающийся основным, для вычисления интеграла (1) использует формулу левого прямоугольника:

Второй метод использует для этой цели формулу среднего прямоугольника:

Третий метод (метод Эйлера-Коши) решает указанную задачу с помощью формулы трапеции с определением предварительного значения :

В результате на каждом шаге решения ДУ реализуются алгоритмы (разностные уравнения 1-го порядка), причем при реализации 3-го алгоритма можно ввести многократное уточнение указанного предварительного значения функции y:

Известные теоретические оценки погрешностей решений ДУ, получаемых с помощью методов Эйлера, состоятельны только при крайне малом числе шагов. Они просты для 1-го шага. Так, при вычислении значения интеграла в выражении (1) по формуле левого прямоугольника абсолютная погрешность определения не может превысить величины , где - модуль-максимум функции на 1-м шаге. С увеличением же номера шага отношение значения оценки к значению фактической погрешности обычно неограниченно увеличивается. Поэтому на практике при решении вопроса о приемлемости полученного результата используют такие приемы как повторение решения другим методом, повторение решения с другим шагом h, определение погрешности, имеющей место при численном решении применяемым методом «аналогичного» уравнения с известным точным решением.

По сравнению с более популярными методами численного решения ДУ, например, с методами Рунге-Кутта, методы Эйлера обычно дают решения с худшей точностью при одном и том же шаге h. Это обусловлено тем, что решение ДУ (1) в более точных численных методах моделируется системами уравнений (разностных или алгебраических) более высокого порядка.

Применяя методы Эйлера, для получения хорошей точности решений нужно выбирать весьма малый шаг h. Особенно следует быть осторожным при нахождении корней характеристического уравнения у границы области устойчивости решения: в этом случае можно сделать неверный вывод о характере решения (устойчивое или нет).