3.Интерполирование функции двух переменных.

Интерполирование функций – частный случай задачи приближения функции, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции f и приближающей её функции g, а в общем случае – и значения некоторых их производных.

Дан ряд значений некоторой функции двух переменных , в ряде точек (узлов). Необходимо по имеющимся значениям функции построить интерполяционный полином .

Интерполирование по формуле Ньютона дает громоздкий полином:

Интерполирование функций многих переменных имеет ряд принципиальных и алгебраических трудностей. Например, в случае алгебраической интерполяции интерполяционный многочлен Лагранжа фиксированной степени, вообще говоря, не существует для произвольной схемы различных узлов интерполяции. В частности для функций двух переменных такой многочлен суммарной степени не выше n может быть построен по узлам лишь при условии, что эти узлы не лежат на алгебраической кривой порядка n.

Рассмотрим интерполяционный полином Лагранжа для случая функции одной переменной с фиксированным шагом интерполяции:

, .

Запишем аналогичную формулу для случая функции двух переменных:

,

.

О дномерный случай:

Двумерный случай:

Убедимся в справедливости полученной формулы:

Фиксируя одну из переменных: - получаем одномерный случай.

4. Метод Монте-Карло поиска экстремальных значений функции.

1)Метод наилучшей пробы

ε

Q

Генерируется точка, принадлежащая области Q, для которой вычисляется значение функции в этой точке (если сгенерированная точка имеет координаты (x,y)). Затем генерируется следующая точка, принадлежащая области Q, и вычисляется значение функции в этой точке . Полученные значения сравниваются, и если , то стирается, а запоминаются. Снова генерируется точка из Q и так далее. Всего должно быть m шагов.

Необходимо, чтобы изображающая точка попала хотя бы раз в ε-область настоящего решения.

Вероятность попадания изображающей точки в ε-область определяется по формуле , где v – объём n-мерной ε-области, а V – объём n-мерной Q-области.

Вероятность непопадания изображающей точки в ε-область за один раз: .

– вероятность, что за m раз изображающая точка ни разу не попадет в ε-область.

Тогда вероятность, что изображающая точка хотя бы раз попадет в ε-область, – надежность: .

Можно определить m – объём необходимых испытаний:

Получили зависимость m от P и p. В данном методе m задана.

Определим математическое ожидание m:

2)Метод статического градиента

Пусть задана какая-то область. В ней надо найти экстремум.

Его особенность в том, что m не задано. То есть берем ИТ₀(изображающ. точку) и бросаем много точек вокруг нее—> выбираем наименьшее значение f(x,y) в этих точках — это ИТ₁ и

т.д. Если машина попадает в точку, из кот. ей больше некуда идти, то данная ИТ будет ответом.